2.28 Estudos de radiobiologia indicam que a população
de um certo microrganismo diminui exponencialmente após ser exposta a uma certa dose de radiação ionizante, dada pela relação
sendo
a população inicial,
a taxa horária de mortalidade e
tempo em horas. A tabela a seguir mostra a variação da população em função do tempo após uma dada exposição de raios X .
t (horas)
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
indivíduos
36,88
13,47
4,98
1,83
0,67
a) Linearize a equação dada, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.
b) Construa o gráfico da população em função do tempo, em papel monolog (semilog).
c) Determine, a partir do gráfico, os valores de
e
, com as suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.
| t (horas) | 2,00 | 4,00 | 6,00 | 8,00 | 10,00 |
|
|
36,88 | 13,47 | 4,98 | 1,83 | 0,67 |
b) Construa o gráfico da população em função do tempo, em papel monolog (semilog).
c) Determine, a partir do gráfico, os valores de
Passo 1
O enunciado dá a lei de decaimento exponencial e uma tabela de dados (peguei estes números da tabela do enunciado). O que é pedido:
-
Dados fornecidos (valores de
em horas e em milhares de indivíduos, extraídos da tabela): -
h, indivíduos -
h, indivíduos -
h, indivíduos -
h, indivíduos -
h, indivíduos
-
-
A lei dada:
em que
é a população inicial (em indivíduos),
é a taxa horária de mortalidade (unidade
) e
é o tempo em horas.
- Perguntas:
(a) Linearizar a equação, identificando variável dependente e independente e coeficiente linear e angular.
(b) Construir o gráfico da população em função do tempo em papel semilog (papel monolog).
(c) A partir do gráfico, determinare com unidades e número adequado de algarismos significativos.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Linearização da equação (aula rápida sobre logaritmos e por que linearizamos).
- Partimos de
- Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma forma linear:
- Interpretação: isto é uma equação da forma
com - variável independente:
(tempo, em horas), - variável dependente:
(logaritmo natural da população), - coeficiente linear (intercepto):
, - coeficiente angular (inclinação):
.
- variável independente:
Breve explicação do porquê: logaritmo transforma produtos e potências em somas e produtos por constantes; aqui o exponencial vira uma reta no plano
. Na prática, em papel semilog (eixo vertical log), a curva
vs
aparece como uma linha reta.
Passo 3
Preparar os dados transformados para o gráfico semilog (explicação prática de como plotar).
- Em papel semilog vertical (eixo
em escala logaritmica base 10) costuma-se usar no eixo vertical. Para ter pontos numéricos, calculei usando em indivíduos (peguei da tabela e transformei para indivíduos: por ex. indivíduos). A tabela transformada é:
(Expliquei: para obter
calculei
, e assim por diante.)
- Como alternativa totalmente equivalente (matematicamente mais direta para obter
) pode-se trabalhar com e traçar versus num papel comum (eixo linear- linear). A vantagem do semilog é que o eixo é já logarítmico e os pontos ficam numa reta se o decaimento for exponencial.
Passo 4
Como construir o gráfico em papel semilog (instrução passo a passo, simples e prática).
- Escolha escalas:
- Eixo horizontal:
de a h (marcas a cada 1 ou 2 h). - Eixo vertical (semilog base 10): marque potências de 10 que cobrem os dados, por exemplo
até . Mais prático: marque linhas principais em , , ; os valores intermediários (por ex. 2000, 5000, 10000, 20000, 30000) são posicionados de forma proporcional entre essas potências (o papel semilog já traz essa escala).
- Eixo horizontal:
- Plotagem:
- Para cada par
marque o ponto com no eixo horizontal e o valor correspondente no eixo vertical log. - Todos os pontos devem ficar quase alinhados sobre uma reta se o modelo exponencial é bom (isto confirma linearidade).
- Para cada par
- Traçar a reta ajustada (melhor é usar régua para ligar os pontos de forma a minimizar visualmente o desvio; para obter valores numéricos precisos usa-se ajuste linear nos
ou leitura da inclinação a partir da reta).
Observação didática: no semilog, uma reta com inclinação negativa corresponde a um decaimento exponencial; a inclinação medida em termos de log10 está relacionada a
por
. Se você medir a inclinação da reta em um gráfico
(eixo vertical em ln), então
diretamente.
Passo 5
Determinar
numericamente a partir dos dados (método simples e robusto, útil durante a prova).
- Uma maneira prática e muito estável para este conjunto é usar pares de pontos consecutivos: para dois tempos
e com populações e ,
- Calculei
a partir de cada par com intervalo h (usei os em indivíduos, valores da tabela). Resultados: - entre
e :
- entre
e :
- entre
e :
- entre
e :
- entre
- Esses quatro valores são bastante consistentes; tomo a média aritmética como estimativa final:
Comentário didático: essa abordagem (usar razões entre pontos) é muito prática na prova porque evita cálculos de regressão e usa diretamente a hipótese exponencial; os resultados próximos mostram que os dados realmente seguem bem o modelo.
Passo 6
Determinar
a partir do valor de
(explicação e cálculo detalhado).
- Da lei
segue
- Usando
e cada ponto da tabela (em indivíduos) podemos calcular cinco estimativas de ; apresento-as para mostrar consistência: - a partir de
: . - a partir de
: . - a partir de
: . - a partir de
: . - a partir de
: .
- a partir de
- As cinco estimativas ficam todas muito próximas de
indivíduos; para relatório é adequado tomar uma média ou um valor representativo. Tomando a média obtemos aproximadamente indivíduos.
Discussão sobre algarismos significativos: os dados originais têm tipicamente 3 ou 4 algarismos significativos (por ex.
tem 4). A incerteza intrínseca do ajuste explica arredondar
e
a 3 algarismos significativos, que é adequado para a precisão dos dados. Portanto os resultados finais com unidades:
-
(taxa horária de mortalidade), -
indivíduos (população inicial).
Passo 7
Verificação rápida e encorajamento final (dica para a prova).
- Verificação: com esses valores,
, coerente com da tabela; portanto os parâmetros estão corretos. - Dica prática para a prova: se tiver papel semilog, marque
no eixo vertical e leia a inclinação da reta; se estiver só com papel normal, transforme com e faça um ajuste linear simples. Para rapidez, usar razões entre pontos consecutivos (como mostrado) costuma dar excelente estimativa de .