2.28 Estudos de radiobiologia indicam que a população P de um certo microrganismo diminui exponencialmente após ser exposta a uma certa dose de radiação ionizante, dada pela relação
P(t)=P_{0} e^{-\alpha t},
sendo \mathrm{P}_{0} a população inicial, \alpha a taxa horária de mortalidade e \mathrm{t} o tempo em horas. A tabela a seguir mostra a variação da população em função do tempo após uma dada exposição de raios X .
t (horas) 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00
\mathrm{P}\left(\times 10^{3}\right. indivíduos ) 36,88 13,47 4,98 1,83 0,67
a) Linearize a equação dada, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os coeficientes linear e angular.
b) Construa o gráfico da população em função do tempo, em papel monolog (semilog).
c) Determine, a partir do gráfico, os valores de P_{0} e \alpha, com as suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado dá a lei de decaimento exponencial e uma tabela de dados (peguei estes números da tabela do enunciado). O que é pedido:
  • Dados fornecidos (valores de t em horas e P em milhares de indivíduos, extraídos da tabela):
    • t=2{,}00 h, P=36{,}88\times10^{3} indivíduos
    • t=4{,}00 h, P=13{,}47\times10^{3} indivíduos
    • t=6{,}00 h, P=4{,}98\times10^{3} indivíduos
    • t=8{,}00 h, P=1{,}83\times10^{3} indivíduos
    • t=10{,}00 h, P=0{,}67\times10^{3} indivíduos
  • A lei dada:
P(t)=P_{0} e^{-\alpha t},
em que P_{0} é a população inicial (em indivíduos), \alpha é a taxa horária de mortalidade (unidade \text{h}^{-1}) e t é o tempo em horas.
  • Perguntas:
    (a) Linearizar a equação, identificando variável dependente e independente e coeficiente linear e angular.
    (b) Construir o gráfico da população em função do tempo em papel semilog (papel monolog).
    (c) A partir do gráfico, determinar P_{0} e \alpha com unidades e número adequado de algarismos significativos.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Linearização da equação (aula rápida sobre logaritmos e por que linearizamos).
  • Partimos de \;P(t)=P_{0} e^{-\alpha t}.
  • Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma forma linear:
\ln P(t)=\ln P_{0}-\alpha t.
  • Interpretação: isto é uma equação da forma \;y=a+bx\; com
    • variável independente: x=t (tempo, em horas),
    • variável dependente: y=\ln P (logaritmo natural da população),
    • coeficiente linear (intercepto): a=\ln P_{0},
    • coeficiente angular (inclinação): b=-\alpha.
Breve explicação do porquê: logaritmo transforma produtos e potências em somas e produtos por constantes; aqui o exponencial vira uma reta no plano (t,\ln P). Na prática, em papel semilog (eixo vertical log), a curva P vs t aparece como uma linha reta.

Passo 3

Preparar os dados transformados para o gráfico semilog (explicação prática de como plotar).
  • Em papel semilog vertical (eixo y em escala logaritmica base 10) costuma-se usar \log_{10} P no eixo vertical. Para ter pontos numéricos, calculei \log_{10} P usando P em indivíduos (peguei P da tabela e transformei para indivíduos: por ex. 36{,}88\times10^{3}=36880 indivíduos). A tabela transformada é:
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\text{h}) & P\\ (\text{indivíduos}) & \log_{10}P \\\ \hline 2{,}00 & 36880 & 4{,}5676 \\\\ 4{,}00 & 13470 & 4{,}1296 \\\\ 6{,}00 & 4980 & 3{,}6977 \\\\ 8{,}00 & 1830 & 3{,}2625 \\\\ 10{,}00& 670 & 2{,}8261 \end{array}
(Expliquei: para obter \log_{10}P calculei \log_{10}(36880)=\log_{10}(3{,}688\times10^{4})=\log_{10}3{,}688+4\approx0{,}5676+4=4{,}5676, e assim por diante.)
  • Como alternativa totalmente equivalente (matematicamente mais direta para obter \alpha) pode-se trabalhar com \ln P e traçar \ln P versus t num papel comum (eixo linear- linear). A vantagem do semilog é que o eixo y é já logarítmico e os pontos ficam numa reta se o decaimento for exponencial.

Passo 4

Como construir o gráfico em papel semilog (instrução passo a passo, simples e prática).
  • Escolha escalas:
    • Eixo horizontal: t de 0 a 10 h (marcas a cada 1 ou 2 h).
    • Eixo vertical (semilog base 10): marque potências de 10 que cobrem os dados, por exemplo 10^{2{,}8}\approx630 até 10^{4{,}6}\approx39800. Mais prático: marque linhas principais em 10^{2}=100, 10^{3}=1000, 10^{4}=10000; os valores intermediários (por ex. 2000, 5000, 10000, 20000, 30000) são posicionados de forma proporcional entre essas potências (o papel semilog já traz essa escala).
  • Plotagem:
    • Para cada par (t,\log_{10}P) marque o ponto com t no eixo horizontal e o valor correspondente no eixo vertical log.
    • Todos os pontos devem ficar quase alinhados sobre uma reta se o modelo exponencial é bom (isto confirma linearidade).
  • Traçar a reta ajustada (melhor é usar régua para ligar os pontos de forma a minimizar visualmente o desvio; para obter valores numéricos precisos usa-se ajuste linear nos \ln P ou leitura da inclinação a partir da reta).
Observação didática: no semilog, uma reta com inclinação negativa corresponde a um decaimento exponencial; a inclinação medida em termos de log10 está relacionada a \alpha por \text{slope}_{\log_{10}} = -\alpha/\ln 10. Se você medir a inclinação da reta em um gráfico (t,\ln P) (eixo vertical em ln), então \text{slope}_{\ln}=-\alpha diretamente.

Passo 5

Determinar \alpha numericamente a partir dos dados (método simples e robusto, útil durante a prova).
  • Uma maneira prática e muito estável para este conjunto é usar pares de pontos consecutivos: para dois tempos t_{1} e t_{2} com populações P_{1} e P_{2},
\frac{P_{2}}{P_{1}}=e^{-\alpha (t_{2}-t_{1})} \quad\Rightarrow\quad \alpha=-\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\ln\!\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right).
  • Calculei \alpha a partir de cada par com intervalo \Delta t=2 h (usei os P em indivíduos, valores da tabela). Resultados:
    • entre t=2 e t=4:
    \alpha=-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{13470}{36880}\right) =-\tfrac{1}{2}\ln(0{,}36537)\approx0{,}5031\\ \text{h}^{-1}.
    • entre t=4 e t=6:
    \alpha=-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{4980}{13470}\right) =-\tfrac{1}{2}\ln(0{,}36963)\approx0{,}4976\\ \text{h}^{-1}.
    • entre t=6 e t=8:
    \alpha=-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1830}{4980}\right) =-\tfrac{1}{2}\ln(0{,}36747)\approx0{,}5004\\ \text{h}^{-1}.
    • entre t=8 e t=10:
    \alpha=-\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{670}{1830}\right) =-\tfrac{1}{2}\ln(0{,}36612)\approx0{,}5027\\ \text{h}^{-1}.
  • Esses quatro valores são bastante consistentes; tomo a média aritmética como estimativa final:
\alpha_{\text{média}}\approx\frac{0{,}5031+0{,}4976+0{,}5004+0{,}5027}{4}\approx0{,}5010\\ \text{h}^{-1}.é
Comentário didático: essa abordagem (usar razões entre pontos) é muito prática na prova porque evita cálculos de regressão e usa diretamente a hipótese exponencial; os resultados próximos mostram que os dados realmente seguem bem o modelo.

Passo 6

Determinar P_{0} a partir do valor de \alpha (explicação e cálculo detalhado).
  • Da lei \;P(t)=P_{0} e^{-\alpha t} segue
P_{0}=P(t)\,e^{\alpha t}.
  • Usando \alpha=0{,}5010\\ \text{h}^{-1} e cada ponto da tabela (em indivíduos) podemos calcular cinco estimativas de P_{0}; apresento-as para mostrar consistência:
    • a partir de t=2: P_{0}=36880\cdot e^{0{,}5010\cdot 2}\approx36880\cdot 2{,}724\approx100460.
    • a partir de t=4: P_{0}=13470\cdot e^{0{,}5010\cdot 4}\approx13470\cdot 7{,}421\approx99960.
    • a partir de t=6: P_{0}=4980\cdot e^{0{,}5010\cdot 6}\approx4980\cdot20{,}21\approx100650.
    • a partir de t=8: P_{0}=1830\cdot e^{0{,}5010\cdot 8}\approx1830\cdot54{,}98\approx100650.
    • a partir de t=10: P_{0}=670\cdot e^{0{,}5010\cdot 10}\approx670\cdot149{,}6\approx100200.
  • As cinco estimativas ficam todas muito próximas de 1{,}00\times10^{5} indivíduos; para relatório é adequado tomar uma média ou um valor representativo. Tomando a média obtemos aproximadamente P_{0}\approx1{,}00\times10^{5} indivíduos.
Discussão sobre algarismos significativos: os dados originais têm tipicamente 3 ou 4 algarismos significativos (por ex. 36{,}88 tem 4). A incerteza intrínseca do ajuste explica arredondar P_{0} e \alpha a 3 algarismos significativos, que é adequado para a precisão dos dados. Portanto os resultados finais com unidades:
  • \alpha=0{,}501\\ \text{h}^{-1} (taxa horária de mortalidade),
  • P_{0}=1{,}00\times10^{5} indivíduos (população inicial).

Passo 7

Verificação rápida e encorajamento final (dica para a prova).
  • Verificação: com esses valores, P(2)=1{,}00\times10^{5}e^{-0{,}501\cdot2}\approx36800, coerente com 36{,}88\times10^{3} da tabela; portanto os parâmetros estão corretos.
  • Dica prática para a prova: se tiver papel semilog, marque \log_{10} no eixo vertical e leia a inclinação da reta; se estiver só com papel normal, transforme com \ln e faça um ajuste linear simples. Para rapidez, usar razões entre pontos consecutivos (como mostrado) costuma dar excelente estimativa de \alpha.

Resposta

P_{0}=1{,}00\times10^{5}\\ \text{indivíduos}í
\alpha=0{,}501\\ \text{h}^{-1}

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