( 10 pts) No combate a incèndios em florestas, aviões jogam água para ajudar equipes que trabalham no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo no solo. Considere que o aviāo esteja voando horizontalmente a 90,0 \mathrm{~m} acima do solo com velocidade de 64,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} antes de lançar a caixa. Despreze a resistência do ar.
a) (4 pts) Faça um esboço do gráfico posição y em função do tempo t para a queda da caixa. Considere a referência do solo como y_{0}=0 \mathrm{~m}.
b) ( 3 pts) Calcule quanto tempo a caixa leva para chegar ao solo.
c) (3 pts) A que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo tirado do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • Altura inicial da caixa em relação ao solo: y_{0}=90,0\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade do avião (horizontal) antes do lançamento: v_{x}=64,0\\ \mathrm{m/s}.
    • Desprezar resistência do ar.
    • Referência do solo: y=0\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas do enunciado:
    a) Fazer um esboço do gráfico posição vertical y em função do tempo t para a queda da caixa, com referência y_{0}=0\\ \mathrm{m} no solo.
    b) Calcular o tempo que a caixa leva para chegar ao solo.
    c) Calcular a que distância horizontal do alvo o piloto deve lançar a caixa (ou seja, a distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto onde a caixa atinge o solo).

Passo 2

Entendendo o movimento e a equação vertical (a base do esboço e dos cálculos).
  • Ideia física simples e importante: com resistência do ar desprezível, o movimento é um lançamento com velocidade horizontal. As componentes horizontal e vertical do movimento são independentes:
    • Horizontal: movimento retilíneo uniforme, sem aceleração (pois não há força horizontal).
    • Vertical: movimento uniformemente acelerado para baixo devido à gravidade.
  • Vamos definir as variáveis usadas:
    • y(t): posição vertical da caixa em função do tempo (em metros), positiva para cima, com y=0 no solo.
    • y_{0}: posição vertical inicial no instante do lançamento (aqui y_{0}=90,0\\ \mathrm{m}).
    • v_{y0}: componente vertical da velocidade inicial (aqui é 0, porque o avião voa horizontalmente).
    • g: aceleração da gravidade (vou usar g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}, direção para baixo).
  • A equação do movimento vertical (equação horária da posição para MUV) é:
y(t)=y_{0}+v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
  • Explicando cada termo: y_{0} é onde começa a caixa; v_{y0}\,t é o deslocamento vertical devido à velocidade inicial; -\tfrac{1}{2}g\,t^{2} é o deslocamento causado pela aceleração para baixo.
  • Esboço pedido (como desenhar no caderno / o que o gráfico mostra):
    • No instante t=0 temos y(0)=y_{0}=90,0\\ \mathrm{m}. Marque esse ponto no eixo vertical.
    • Como v_{y0}=0, a inclinação do gráfico em t=0 é zero (tangente horizontal).
    • A curva é uma parábola côncava para baixo (porque o termo em t^{2} tem coeficiente negativo -\tfrac{1}{2}g). Ela decresce a partir de 90,0\\ \mathrm{m} e cruza o eixo y=0 no tempo de impacto (que vamos calcular).
    • No eixo do tempo marque o instante aproximado do impacto (verá que é alguns segundos, não dezenas). Esse é o esboço qualitativo pedido: parábola côncava para baixo saindo de y=90,0\\ \mathrm{m}, tangente horizontal em t=0, interceptando y=0 em t=t_{\text{queda}}.

Passo 3

Calcular o tempo de queda (parte b) usando a equação vertical.
  • Começamos impondo que o impacto ocorre quando y(t)=0. Usando a equação vertical:
0=y_{0}+v_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
  • Substituindo os valores y_{0}=90,0\\ \mathrm{m} e v_{y0}=0:
0=90,0-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}.
  • Isolando t^{2}:
\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=90,0 \qquad\Rightarrow\qquad t^{2}=\frac{2\cdot 90,0}{g}.
  • Usando g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t^{2}=\frac{180,0}{9,80}=18,3673469\ldots
  • Tirando raiz quadrada (pegando a solução positiva, que é fisicamente relevante):
t=\sqrt{18,3673469\ldots}\approx 4,29\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação: a caixa leva cerca de 4,29\\ \mathrm{s} para cair de 90,0\\ \mathrm{m} quando a velocidade vertical inicial é zero.

Passo 4

Calcular a distância horizontal que a caixa percorre durante a queda (parte c).
  • Para o movimento horizontal (MRU), a equação horária é:
x(t)=x_{0}+v_{x}\,t,
onde x_{0} é a posição horizontal no instante do lançamento (posso tomar x_{0}=0 no ponto de soltura) e v_{x} é a velocidade horizontal (aqui v_{x}=64,0\\ \mathrm{m/s}).
  • A distância horizontal percorrida até o impacto é:
x = v_{x}\,t.
  • Substituindo v_{x}=64,0\\ \mathrm{m/s} e t\approx 4,29\\ \mathrm{s}:
x \approx 64,0\times 4,29 \approx 274\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: o piloto deve soltar a caixa quando estiver aproximadamente 274\\ \mathrm{m} antes (horizontalmente) do alvo para que a caixa atinja o alvo no solo.

Passo 5

Resumo prático para a prova — receita rápida que você pode repetir:
  1. Separar movimento vertical e horizontal.
  2. Vertical: usar y(t)=y_{0}+v_{y0}t-\tfrac{1}{2}gt^{2} e achar t impondo y=0.
  3. Horizontal: usar x=v_{x}t com o t encontrado.
    Fica mais fácil com prática: tente outro exemplo rápido (por exemplo, altura 20,0\\ \mathrm{m} e mesma velocidade horizontal) para fixar.

Resposta

a) Gráfico y versus t: parábola côncava para baixo com y(0)=90,0\\ \mathrm{m}, tangente horizontal em t=0 (porque v_{y0}=0), cruzando y=0 em t\approx 4,29\\ \mathrm{s}.
b) t\approx 4,29\\ \mathrm{s}
c) x\approx 274\\ \mathrm{m}

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