Considere um gás contido num recipiente com pistāo móvel. Se a temperatura é mantida constante, entāo a pressāo P ( em mmHc ) no recipiente é funçāo do volume V ( em ml ) ocupado peio gás, dada por P=\left(1,75,10^{2}\right) / V.
a) Qual a taxa média de decrescimento da pressāo quando o volume aumenta de 10 para 20 ml ?
b) Suponha que o volume do recipiente está aumentando.
Com que taxa a pressāo está diminuindo em relação ao volume quando o volume for de 10 ml ?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão e volume do gás, mantendo a temperatura constante. Peguei a função fornecida no enunciado:
P(V)=\frac{1,75\times 10^{2}}{V}.
Aqui:
  • P é a pressão em \text{mmHc}.
  • V é o volume em \text{ml}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A taxa média de decrescimento da pressão quando o volume aumenta de 10 para 20 ml.
  2. (b) Se o volume está aumentando, com que taxa a pressão está diminuindo em relação ao volume quando V=10 ml (isto é, a taxa instantânea \dfrac{dP}{dV} em V=10).

Passo 2

Entendendo a diferença entre “taxa média” e “taxa instantânea” de forma prática:
  • A taxa média de variação de P entre V=a e V=b é a razão do incremento de P pelo incremento de V. Fórmula:
\text{taxa média}=\frac{P(b)-P(a)}{b-a}.é
Esta é a inclinação da reta secante que liga os pontos (a,P(a)) e (b,P(b)) no plano V\times P.
  • A taxa instantânea de variação de P em V=v é a derivada \dfrac{dP}{dV} avaliada em V=v. É a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (v,P(v)).

Passo 3

Calcular P(10) e P(20) usando a função dada. Primeiro simplifico o coeficiente:
1,75\times 10^{2}=175.
Portanto
P(V)=\frac{175}{V}.
Agora:
P(10)=\frac{175}{10}=17,5\\ \text{mmHc},
P(20)=\frac{175}{20}=\frac{175}{2\cdot 10}=\frac{175}{20}=8,75\\ \text{mmHc}.

Passo 4

Calcular a taxa média de decrescimento quando V aumenta de 10 para 20 ml usando a fórmula da taxa média:
\text{taxa média}=\frac{P(20)-P(10)}{20-10}=\frac{8,75-17,5}{10}=\frac{-8,75}{10}=-0,875.é
Interpretação: a pressão está decrescendo, em média, a uma taxa de -0,875 \text{mmHc} por \text{ml}. O sinal negativo indica que P diminui quando V aumenta. Em módulo, a pressão cai 0,875 \text{mmHc} a cada \text{ml} aumentado, em média, nesse intervalo.

Passo 5

Agora vamos à taxa instantânea: preciso calcular a derivada \dfrac{dP}{dV}. Para isso uso a regra de diferenciação para potências (regra do expoente):
  • Se f(V)=V^{n} então \dfrac{df}{dV}=n\,V^{n-1}.
    Aplicando isso à função P(V)=175\,V^{-1} (escrevi V^{-1} para aplicar a regra):
P(V)=175\,V^{-1}.

Passo 6

Calcular a derivada usando a regra do expoente:
\frac{dP}{dV}=175\cdot(-1)\,V^{-2}=-175\,V^{-2}=\,-\frac{175}{V^{2}}.
Isto dá a taxa instantânea de variação da pressão em função do volume.

Passo 7

Avaliar a derivada em V=10 ml:
\left.\frac{dP}{dV}\right|_{V=10}=-\frac{175}{10^{2}}=-\frac{175}{100}=-1,75.
Interpretação física: quando o volume for 10 ml, a pressão está diminuindo instantaneamente a uma taxa de -1,75 \text{mmHc} por \text{ml}. Ou seja, para um pequeno aumento \Delta V em torno de 10 ml, a variação aproximada da pressão é \Delta P\approx -1,75\cdot\Delta V. Por exemplo, se o volume aumentar 0,1 ml próximo de 10 ml, a pressão cairia aproximadamente 0,175 \text{mmHc}.

Resposta

(a) -0,875\\ \text{mmHc}\\ /\\ \text{ml}\n
(b) -1,75\\ \text{mmHc}\\ /\\ \text{ml}

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