Uma particula move-se em linha reta de tal forma que no instante t (em segundos ) eia està a 2 t^{\hat{\prime}}+6 t metros de sua posiçāo inicial.
a) Qual a velocidade média da particula nos 10 primeiros segundos ?
b) Qual a veiocidade da partícula 6 segundos depois que começamos a medir sua posiçāo ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no instante t (em segundos). Vou interpretar a expressão enviada como a função posição
s(t)=2t^{2}+6t,
onde s(t) está em metros e t em segundos.
As perguntas são:
  • (a) Qual a velocidade média da partícula nos \,10 primeiros segundos? (ou seja, entre t=0 e t=10);
  • (b) Qual a velocidade da partícula \,6 segundos depois que começamos a medir sua posição? (ou seja, v(6)).

Passo 2

Conceito: a velocidade média em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pelo comprimento do intervalo. A fórmula é
\bar v=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1},
onde s(t) é a posição, t_1 e t_2 são os instantes inicial e final. Para os \,10 primeiros segundos usamos t_1=0 e t_2=10.

Passo 3

Aplicando a fórmula da velocidade média: primeiro calculo s(10) e s(0).
s(10)=2\cdot10^{2}+6\cdot10=2\cdot100+60=200+60=260\\ \text{m},
s(0)=2\cdot0^{2}+6\cdot0=0\\ \text{m}.
Agora a velocidade média no intervalo [0,10] é
\bar v=\frac{s(10)-s(0)}{10-0}=\frac{260-0}{10}=\frac{260}{10}=26\\ \text{m/s}.
Interpretação rápida: em média a partícula avançou 260 metros em 10 segundos, então 26 metros por segundo.

Passo 4

Conceito: a velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição em relação ao tempo. Em palavras, é o limite da razão de variação média quando o intervalo de tempo tende a zero:
v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.
Na prática, para funções polinomiais usamos a regra de derivação: a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1}.

Passo 5

Derivo s(t)=2t^{2}+6t usando a regra do passo anterior:
  • derivada de 2t^{2} é 2\cdot 2 t^{1}=4t;
  • derivada de 6t é 6.
    Logo
v(t)=4t+6.

Passo 6

Agora avalio v(t) em t=6:
v(6)=4\cdot6+6=24+6=30\\ \text{m/s}.
Interpretação: no instante 6 s a partícula está se movendo a 30\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) 26\\ \text{m/s}
(b) 30\\ \text{m/s}

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