observe que o par de funções dado é uma solução do sistema de equações diferenciais dado no intervalo (-infty, infty).
d^2 xd t^2=4 y+e^t
& d^2 yd t^2=4 x-e^t & x=cos 2 t+sen 2 t+15 e^t & y=-cos 2 t-sen 2 t-15 e^t
arctg x+arctg y=c ou x+y1-x y=c

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
d^2xdt^2 = 4y + e^t, d^2ydt^2 = 4x - e^t,
e a solução
x(t)=cos2t+sin2t+tfrac15e^t, y(t)=-cos2t-sin2t-tfrac15e^t
Queremos mostrar que
arctan x + arctan y = c
é de fato uma primeira integral, ou equivalentemente
x+y1-xy=c
Para isso, vamos usar a identidade da tangente da soma de ângulos.

Passo 2

Da identidade
tanl(arctan x + arctan yr) = x+y1-xy,
vemos que provar
arctan x+arctan y constante equivale a mostrar que
dfracx+y1-xy é constante.

Passo 3

Calculemos x+y:
x+y = l(cos2t+sin2t+tfrac15e^tr) +l(-cos2t-sin2t-tfrac15e^tr) =0
Logo
x+y1-xy = 01-xy = 0,
que é claramente constante.

Passo 4

Como
tanl(arctan x+arctan yr)=0, segue
arctan x+arctan y = kpi,
para algum inteiro k. Para fixar k, avaliamos em t=0:
x(0)=1+tfrac15= tfrac65, y(0)=-1-tfrac15=-tfrac65,
arctan!l(tfrac65r) +arctan!l(-tfrac65r)=0,
logo k=0 e
arctan x+arctan y=0.

Resposta

arctan x + arctan y = 0, ou equivalentemente x+y1-xy=0.

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