Questão 7. Dados vetores u e v, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
(c) Desigualdade de Cauchy-Schwarz |u cdot v| <=|u||v|;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para dois vetores u,vinR^n, ou seja,
l|ucdotvr|<=|u|;|v|
Vamos usar propriedades do produto escalar e do quadrado da norma para construir um polinômio que seja sempre não-negativo.

Passo 2

Primeiro observe o caso trivial v=0. Então ucdotv=0 e |v|=0, logo
l|ucdotvr|=0<=|u|cdot0=|u||v|
A desigualdade vale de maneira imediata. A seguir suponha vneq0.

Passo 3

Considere a função de variável real
f(t)=l|u-tvr|^2 =l(u-tvr)cdotl(u-tvr)
Pelo fato de norma ao quadrado ser sempre não-negativa, temos f(t)>=0 para todo tinR. Expandindo em termos de t:
f(t) =|u|^2-2,tl(ucdotvr) +t^2|v|^2
Isto é um polinômio quadrático at^2+bt+c com
a=|v|^2>0, b=-2,(ucdotv), c=|u|^2

Passo 4

Para que f(t)>=0 para todo t, o discriminante desse polinômio deve satisfazer
De<a = b^2-4ac <= 0
Calcule
De<a = l(-2,(ucdotv)r)^2 -4,|v|^2,|u|^2 =4l(ucdotvr)^2 -4|u|^2|v|^2<=0
Dividindo por 4 e reorganizando, obtemos
l(ucdotvr)^2<=|u|^2|v|^2 Longrightarrow l|ucdotvr|<=|u|;|v|

Resposta

boxedl|ucdotvr|<=|u|;|v|

Exercícios relacionados