Questão 7. Dados vetores
e
, mostre as seguintes igualdades e desigauldades:
(c) Desigualdade de Cauchy-Schwarz
;
(c) Desigualdade de Cauchy-Schwarz
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para dois vetores
, ou seja,
Vamos usar propriedades do produto escalar e do quadrado da norma para construir um polinômio que seja sempre não-negativo.
Passo 2
Primeiro observe o caso trivial
v=0 . Então
ucdotv=0 e
|v|=0 , logo
A desigualdade vale de maneira imediata. A seguir suponha
vneq0 .
Passo 3
Considere a função de variável real
Pelo fato de norma ao quadrado ser sempre não-negativa, temos
f(t)>=0 para todo
tinR . Expandindo em termos de
t :
Isto é um polinômio quadrático
at^2+bt+c com
Passo 4
Para que
f(t)>=0 para todo
t , o discriminante desse polinômio deve satisfazer
Calcule
Dividindo por
4 e reorganizando, obtemos