Observe os polígonos EFGH e E’F’G’H que tipo de simetria é observada na transformação? E(-1;6) F(3;8) G(2;2) H(-2;3) E’(-7;-4) F’(-3;-2) G’(-4;-8) H’(-8;-7)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Temos dois polígonos, o EFGH e o E’F’G’H’, com coordenadas específicas para cada vértice. O exercício pede para identificar que tipo de simetria ocorre na transformação de um polígono para o outro.
Conteúdo da matéria: Estamos falando sobre transformações geométricas, especificamente sobre simetrias como reflexão, rotação, translação, entre outras.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender os tipos de simetria nas transformações geométricas.
  • Analisar as coordenadas dos dois polígonos para identificar a relação entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar os principais tipos de simetria em transformações geométricas:
  1. Reflexão (ou simetria axial): É quando uma figura é espelhada em relação a uma linha (eixo de reflexão). Cada ponto da figura original tem um ponto correspondente no outro lado do eixo, à mesma distância.
  2. Rotação: A figura é girada em torno de um ponto fixo (centro de rotação) por um certo ângulo.
  3. Translação: A figura é movida de um lugar para outro sem alterar sua orientação ou tamanho.
  4. Simetria central (ou reflexão central): Cada ponto da figura original se move na direção oposta em relação a um ponto central.
Vamos ver qual dessas simetrias se encaixa na transformação dos nossos polígonos.

Passo 3

Vamos analisar as coordenadas dos vértices dos dois polígonos:
  • Polígono EFGH:
    • E(-1, 6)
    • F(3, 8)
    • G(2, 2)
    • H(-2, 3)
  • Polígono E’F’G’H’:
    • E’(-7, -4)
    • F’(-3, -2)
    • G’(-4, -8)
    • H’(-8, -7)
Observando as coordenadas, percebemos que há uma mudança nos sinais das coordenadas x e y. Por exemplo, o ponto E passa de (-1, 6) para E’(-7, -4).

Passo 4

Para identificar a simetria, vamos tentar encontrar uma regra que transforme cada ponto do polígono EFGH em E’F’G’H’. Vamos observar a relação entre as coordenadas correspondentes:
  • E(-1, 6) → E’(-7, -4)
  • F(3, 8) → F’(-3, -2)
  • G(2, 2) → G’(-4, -8)
  • H(-2, 3) → H’(-8, -7)
Podemos tentar descobrir se existe uma relação matemática entre as coordenadas de cada ponto original e seu correspondente transformado.

Passo 5

Analisando a transformação, parece que tanto as coordenadas x quanto y estão sendo invertidas em sinal e aumentadas em valor. No entanto, para identificar corretamente o tipo de simetria, vamos considerar a simetria central.
Simetria Central: Neste tipo de simetria, cada ponto da figura original é refletido através de um ponto central, de modo que a linha que liga um ponto original ao seu correspondente tem esse ponto central como ponto médio.
Para encontrar o ponto central, calculamos a média das coordenadas correspondentes:
Por exemplo, para o ponto E e E’:
  • $ x_{central} = \frac{-1 + (-7)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $
  • $ y_{central} = \frac{6 + (-4)}{2} = \frac{2}{2} = 1 $
Vamos verificar se isso se confirma para os outros pontos.

Passo 6

Calculando o ponto central para os demais vértices:
  • Para F e F’:
    • $ x_{central} = \frac{3 + (-3)}{2} = 0 $
    • $ y_{central} = \frac{8 + (-2)}{2} = 3 $
  • Para G e G’:
    • $ x_{central} = \frac{2 + (-4)}{2} = -1 $
    • $ y_{central} = \frac{2 + (-8)}{2} = -3 $
  • Para H e H’:
    • $ x_{central} = \frac{-2 + (-8)}{2} = -5 $
    • $ y_{central} = \frac{3 + (-7)}{2} = -2 $
Observamos que os pontos centrais não são os mesmos para todos os pares, o que indica que não estamos lidando com uma simetria central.

Passo 7

Vamos então analisar se a transformação é uma reflexão. Para isso, precisamos verificar se existe uma reta que serve como o eixo de simetria, de modo que cada ponto da figura original tem um correspondente espelhado em relação a essa reta.
Uma das maneiras de identificar o eixo de reflexão é encontrando uma reta que seja o eixo mediatriz dos segmentos que ligam cada ponto original ao seu correspondente transformado.
Para simplificar, vamos tentar encontrar a equação da reta que serve como eixo de simetria.

Passo 8

Primeiro, vamos considerar o par de pontos E e E’:
E(-1, 6) e E’(-7, -4)
A mediana desse segmento teremos o ponto central que já calculamos: (-4, 1)
A inclinação da reta que une E e E’ é:
$ m = \frac{-4 - 6}{-7 - (-1)} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} $
A inclinação da reta perpendicular ao eixo de simetria será o negativo do inverso, ou seja:
$ m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{3}{5} $
Agora, com a inclinação e passando pelo ponto médio (-4, 1), podemos encontrar a equação do eixo de simetria.

Passo 9

Usando a fórmula da equação da reta:
$ y - y_0 = m_{\perp}(x - x_0) $
Substituindo:
$ y - 1 = -\frac{3}{5}(x + 4) $
Multiplicando tudo por 5 para eliminar a fração:
$ 5(y - 1) = -3(x + 4) $
$ 5y - 5 = -3x - 12 $
Rearranjando:
$ 3x + 5y = -7 $
Esta é a equação do eixo de simetria potencial. Para confirmar, precisamos verificar se outros pares de pontos também estão refletidos em relação a essa reta.

Passo 10

Vamos verificar com o par de pontos F e F’:
F(3, 8) e F’(-3, -2)
O ponto médio é (0, 3). Vamos verificar se esse ponto está na reta $ 3x + 5y = -7 $:
Substituindo:
$ 3(0) + 5(3) = 15 $, que não é igual a -7.
Isso significa que essa reta não é o eixo de simetria para todos os pontos. Portanto, a transformação não é uma reflexão em relação a uma única reta.

Passo 11

Vamos considerar então a possibilidade de uma rotação. Talvez o polígono tenha sido girado em torno de um ponto por um certo ângulo.
Para determinar isso, precisamos identificar o centro de rotação e o ângulo.
Vamos calcular se há um ponto fixo que permanece o mesmo após a transformação e se todos os pontos foram girados pela mesma quantidade em relação a esse ponto.

Passo 12

Observando as coordenadas, não há nenhum ponto que permanece o mesmo após a transformação. Além disso, as distâncias dos pontos em relação a um possível centro de rotação não são constantes, o que sugere que a transformação não é uma rotação.

Passo 13

Agora, vamos considerar a possibilidade de uma translação, ou seja, um deslocamento da figura sem rotação ou reflexão.
Para que seja uma translação, o vetor de deslocamento deve ser o mesmo para todos os pontos.
Calculando o vetor de deslocamento para o ponto E:
E(-1, 6) → E’(-7, -4)
$ \Delta x = -7 - (-1) = -6 $
$ \Delta y = -4 - 6 = -10 $
Agora, verificando para o ponto F:
F(3, 8) → F’(-3, -2)
$ \Delta x = -3 - 3 = -6 $
$ \Delta y = -2 - 8 = -10 $
Para o ponto G:
G(2, 2) → G’(-4, -8)
$ \Delta x = -4 - 2 = -6 $
$ \Delta y = -8 - 2 = -10 $
Para o ponto H:
H(-2, 3) → H’(-8, -7)
$ \Delta x = -8 - (-2) = -6 $
$ \Delta y = -7 - 3 = -10 $

Passo 14

Percebemos que para todos os pontos, o vetor de deslocamento é o mesmo: $ \Delta x = -6 $ e $ \Delta y = -10 $.
Isso indica que a transformação aplicada ao polígono EFGH para chegar em E’F’G’H’ foi uma translação de vetor (-6, -10).

Resposta

A transformação observada nos polígonos EFGH e E’F’G’H’ é uma translação pelo vetor (-6, -10).

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