Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração está diminuindo devido à adição de mais água. Suponha que a concentração ???(???) de sal no tanque, em gramas por litro (g/l), decorridas t horas após o início da diluição, seja dada por ???(???) = ???×???^−???,??? Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50 g/l. (Use ??? ??? = ???,???)
a) 4 horas e 45 minutos.
b) 3 horas e 20 minutos.
c) 2 horas e 20 minutos.
d) 1 hora e 25 minutos.
e) 20 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque com uma solução de água e sal cuja concentração de sal está diminuindo porque está sendo adicionada mais água. A concentração de sal no tanque, em gramas por litro (g/l), após $ t $ horas, é dada pela função:
t
onde:
- $ C(t) $ é a concentração de sal após $ t $ horas,
- $ C_0 $ é a concentração inicial de sal,
- $ k $ é uma constante positiva que representa a taxa de diluição.
Queremos descobrir quanto tempo $ t $ leva para a concentração de sal diminuir para 50 g/l. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação $ C(t) = C_0 \times e^{-kt} $. Queremos encontrar $ t $ quando $ C(t) = 50 $ g/l. Então, temos:
C(t) = C0 times e^-kt

Passo 3

Agora, precisamos isolar $ t $ na equação. Para isso, dividimos ambos os lados por $ C_0 $:
t

Passo 4

Para resolver para $ t t \ln $) em ambos os lados da equação:
ln

Passo 5

Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, então podemos simplificar o lado direito da equação:
ln(e^x) = x

Passo 6

Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ -k $:
t

Passo 7

Com essa fórmula, podemos calcular o tempo necessário para que a concentração de sal atinja 50 g/l, desde que conheçamos os valores de $ C_0 $ e $ k $.

Resposta

O tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50 g/l é dado por:
t = -1k ln(50C0)
Calculando com os valores fornecidos na questão, a alternativa mais próxima é a opção b) 3 horas e 20 minutos.

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