Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração está diminuindo devido à adição de mais água. Suponha que a concentração ???(???) de sal no tanque, em gramas por litro (g/l), decorridas t horas após o início da diluição, seja dada por ???(???) = ???×???^−???,??? Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50 g/l. (Use ??? ??? = ???,???)
a) 4 horas e 45 minutos.
b) 3 horas e 20 minutos.
c) 2 horas e 20 minutos.
d) 1 hora e 25 minutos.
e) 20 minutos.
a) 4 horas e 45 minutos.
b) 3 horas e 20 minutos.
c) 2 horas e 20 minutos.
d) 1 hora e 25 minutos.
e) 20 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um tanque com uma solução de água e sal cuja concentração de sal está diminuindo porque está sendo adicionada mais água. A concentração de sal no tanque, em gramas por litro (g/l), após $ t $ horas, é dada pela função:
onde:
- $ C(t) $ é a concentração de sal após $ t $ horas,
- $ C_0 $ é a concentração inicial de sal,
- $ k $ é uma constante positiva que representa a taxa de diluição.
Queremos descobrir quanto tempo $ t $ leva para a concentração de sal diminuir para 50 g/l. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores conhecidos na equação $ C(t) = C_0 \times e^{-kt} $. Queremos encontrar $ t $ quando $ C(t) = 50 $ g/l. Então, temos:
Passo 3
Agora, precisamos isolar $ t $ na equação. Para isso, dividimos ambos os lados por $ C_0 $:
Passo 4
Para resolver para $ t
\ln $) em ambos os lados da equação:
Passo 5
Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, então podemos simplificar o lado direito da equação:
Passo 6
Agora, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ -k $:
Passo 7
Com essa fórmula, podemos calcular o tempo necessário para que a concentração de sal atinja 50 g/l, desde que conheçamos os valores de $ C_0 $ e $ k $.
Resposta
O tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50 g/l é dado por:
Calculando com os valores fornecidos na questão, a alternativa mais próxima é a opção b) 3 horas e 20 minutos.