Observe a substituição usada no cálculo da integral \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} d x.
Vamos uma mudança de variável: u=x+1 \Rightarrow d u=d x e x=u-1
\int \frac{(u-1)}{\sqrt{u}} d u=\int(u-1) \cdot u^{-\frac{1}{2}} d u=\int\left(u^{1 / 2}-u^{-1 / 2}\right) d u=
\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}-2 u^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3} \sqrt{u^{3}}-2 \sqrt{u}+C=\frac{2}{3} \sqrt{(x+1)^{3}}-2 \sqrt{(x+1)}+C
Usando a mesma estratégia resolva as seguintes integrais:
\int \frac{x}{(x+3)^{10}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \frac{x}{(x+3)^{10}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O integrando é a função \dfrac{x}{(x+3)^{10}}.
  • Espera‑se usar a mesma estratégia do exemplo anterior (ou seja, uma mudança de variável do tipo u=x+\,constante), embora aqui isso não esteja explicitado como obrigação no enunciado; a integral envolve uma expressão da forma (x+3) no denominador elevada a uma potência inteira.

Passo 2

Fazer a mudança de variável recomendada: tome
u = x+3.
Então, diferenciando, obtemos
du = dx.
Também escrevemos x em função de u:
x = u-3.
Substituindo na integral original (lembre que dx=du):
\int \frac{x}{(x+3)^{10}}\,dx = \int \frac{u-3}{u^{10}}\,du.

Passo 3

Simplificar o integrando escrevendo potências:
\frac{u-3}{u^{10}} = \frac{u}{u^{10}} - \frac{3}{u^{10}} = u^{-9} - 3u^{-10}.
Portanto a integral fica
\int \left(u^{-9} - 3u^{-10}\right)\,du.

Passo 4

Lembrete (regra que vamos usar): para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui aplicamos para cada termo separadamente.
Calcule cada integral:
\int u^{-9}\,du = \frac{u^{-8}}{-8} = -\frac{1}{8}u^{-8},
\int -3u^{-10}\,du = -3\cdot\frac{u^{-9}}{-9} = \frac{1}{3}u^{-9}.
Somando:
-\frac{1}{8}u^{-8} + \frac{1}{3}u^{-9} + C.

Passo 5

Voltar à variável original x usando u=x+3:
-\frac{1}{8}(x+3)^{-8} + \frac{1}{3}(x+3)^{-9} + C.
Opcionalmente podemos colocar numa única fração (fato útil para checar no rascunho da prova):
\frac{-3x-1}{24\,(x+3)^{9}} + C,
que é equivalente à expressão anterior (fazendo (x+3)^{-9} fator comum e reduzindo frações).

Passo 6

Checagem rápida (derivando a antiderivada para confirmar): calcule a derivada de
F(x)=-\frac{1}{8}(x+3)^{-8}+\frac{1}{3}(x+3)^{-9}.
Pela regra da cadeia,
F'(x)= -\frac{1}{8}\cdot(-8)(x+3)^{-9} + \frac{1}{3}\cdot(-9)(x+3)^{-10} = (x+3)^{-9} - 3(x+3)^{-10}.
Colocando sobre o mesmo denominador:
F'(x)=\frac{x+3-3}{(x+3)^{10}}=\frac{x}{(x+3)^{10}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

-\frac{1}{8}(x+3)^{-8}+\frac{1}{3}(x+3)^{-9}+C

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