Observe a substituição usada no cálculo da integral
.
Vamos uma mudança de variável:
e
Usando a mesma estratégia resolva as seguintes integrais:
Usando a mesma estratégia resolva as seguintes integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações relevantes fornecidas:
- O integrando é a função
. - Espera‑se usar a mesma estratégia do exemplo anterior (ou seja, uma mudança de variável do tipo
constante), embora aqui isso não esteja explicitado como obrigação no enunciado; a integral envolve uma expressão da forma no denominador elevada a uma potência inteira.
Passo 2
Fazer a mudança de variável recomendada: tome
Então, diferenciando, obtemos
Também escrevemos
em função de
:
Substituindo na integral original (lembre que
):
Passo 3
Simplificar o integrando escrevendo potências:
Portanto a integral fica
Passo 4
Lembrete (regra que vamos usar): para
,
Aqui aplicamos para cada termo separadamente.
Calcule cada integral:
Somando:
Passo 5
Voltar à variável original
usando
:
Opcionalmente podemos colocar numa única fração (fato útil para checar no rascunho da prova):
que é equivalente à expressão anterior (fazendo
fator comum e reduzindo frações).
Passo 6
Checagem rápida (derivando a antiderivada para confirmar): calcule a derivada de
Pela regra da cadeia,
Colocando sobre o mesmo denominador:
que é exatamente o integrando original. Portanto a antiderivada está correta.