Observe a substituição usada no cálculo da integral \int \frac{x}{\sqrt{x+1}} d x.
Vamos uma mudança de variável: u=x+1 \Rightarrow d u=d x e x=u-1
\int \frac{(u-1)}{\sqrt{u}} d u=\int(u-1) \cdot u^{-\frac{1}{2}} d u=\int\left(u^{1 / 2}-u^{-1 / 2}\right) d u=
\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}-2 u^{\frac{1}{2}}+C=\frac{2}{3} \sqrt{u^{3}}-2 \sqrt{u}+C=\frac{2}{3} \sqrt{(x+1)^{3}}-2 \sqrt{(x+1)}+C
Usando a mesma estratégia resolva as seguintes integrais:
\int x \sqrt{x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x \sqrt{x+2}\,dx
Informações importantes que o enunciado nos dá:
  • A função a integrar é x multiplicada por \sqrt{x+2}.
  • A raiz é \sqrt{x+2}=(x+2)^{1/2}.
  • A integral é indefinida, então a resposta final deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Motivação para a estratégia (sem resolver ainda): quando aparece uma expressão do tipo (x+2) dentro de uma potência fracionária e o resto do integrando é um polinômio em x, costuma ajudar fazer a substituição u=x+2. Isso simplifica a raiz para u^{1/2} e transforma polinômios em x em polinômios em u. Agora aplicamos essa ideia.

Passo 3

Fazer a mudança de variável. Definimos
u = x+2.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = dx.
Também expressamos x em função de u:
x = u-2.
Substituímos tudo na integral original:
\int x \sqrt{x+2}\,dx = \int (u-2)\cdot u^{1/2}\,du.
Aqui usei explicitamente que dx=du e que peguei o termo \sqrt{x+2} da substituição, que virou u^{1/2}.

Passo 4

Simplificar o integrando após a substituição. Multiplicamos (u-2) por u^{1/2}:
(u-2)\cdot u^{1/2} = u\cdot u^{1/2} - 2\cdot u^{1/2} = u^{3/2} - 2\,u^{1/2}.
Portanto a integral virou uma soma de potências simples:
\int (u^{3/2} - 2\,u^{1/2})\,du.

Passo 5

Relembrando a regra de integração para potências: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
As variáveis e expoentes neste problema são fracionários, mas a regra vale do mesmo jeito. Vamos aplicar termo a termo.

Passo 6

Integrar cada termo:
  • Para u^{3/2}: aqui n=\tfrac{3}{2}, então
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}.
  • Para -2\,u^{1/2}: fatoramos a constante -2 e aplicamos a regra com n=\tfrac{1}{2}:
\int -2\,u^{1/2}\,du = -2\cdot\frac{u^{1/2+1}}{1/2+1} = -2\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2} = -2\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = -\frac{4}{3}\,u^{3/2}.
Somando as duas partes, obtemos a primitiva em u:
\frac{2}{5}\,u^{5/2} - \frac{4}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 7

Voltar à variável original x substituindo u=x+2. Assim a antiderivada final é
\frac{2}{5}\,(x+2)^{5/2} - \frac{4}{3}\,(x+2)^{3/2} + C.
Opcional (às vezes útil na prova): pode-se fatorar (x+2)^{3/2} para escrever de maneira mais compacta:
(x+2)^{3/2}\!\left(\frac{2}{5}(x+2) - \frac{4}{3}\right) + C,
ou ainda simplificar a combinação dentro dos parênteses encontrando um denominador comum, se necessário.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}\,(x+2)^{5/2} - \frac{4}{3}\,(x+2)^{3/2} + C

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