Observe a substituição usada no cálculo da integral
.
Vamos uma mudança de variável:
e
Usando a mesma estratégia resolva as seguintes integrais:
Usando a mesma estratégia resolva as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações importantes que o enunciado nos dá:
- A função a integrar é
multiplicada por . - A raiz é
. - A integral é indefinida, então a resposta final deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Motivação para a estratégia (sem resolver ainda): quando aparece uma expressão do tipo
dentro de uma potência fracionária e o resto do integrando é um polinômio em
, costuma ajudar fazer a substituição
. Isso simplifica a raiz para
e transforma polinômios em
em polinômios em
. Agora aplicamos essa ideia.
Passo 3
Fazer a mudança de variável. Definimos
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Também expressamos
em função de
:
Substituímos tudo na integral original:
Aqui usei explicitamente que
e que peguei o termo
da substituição, que virou
.
Passo 4
Simplificar o integrando após a substituição. Multiplicamos
por
:
Portanto a integral virou uma soma de potências simples:
Passo 5
Relembrando a regra de integração para potências: para qualquer
,
As variáveis e expoentes neste problema são fracionários, mas a regra vale do mesmo jeito. Vamos aplicar termo a termo.
Passo 6
Integrar cada termo:
- Para
: aqui , então
- Para
: fatoramos a constante e aplicamos a regra com :
Somando as duas partes, obtemos a primitiva em
:
Passo 7
Voltar à variável original
substituindo
. Assim a antiderivada final é
Opcional (às vezes útil na prova): pode-se fatorar
para escrever de maneira mais compacta:
ou ainda simplificar a combinação dentro dos parênteses encontrando um denominador comum, se necessário.