Calcule as seguintes integrais usando as fórmulas de integração (10) e (11):
\int \frac{d x}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede calcular a integral \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}.
  • Informação importante: a expressão dentro da raiz é 9-x^{2}, que sugere um termo da forma a^{2}-x^{2} com a^{2}=9. Logo a=3.
  • Observação sobre domínio: a raiz exige 9-x^{2}\ge0, isto é |x|\le3. Em integrais indefinidas isso aparece ao escolher a forma inversa adequada (arcsin) com o seu ramo principal.

Passo 2

Apresentar as fórmulas de integração (10) e (11) (vou escrevê‑las explicitamente e explicar o que cada símbolo significa).
  • Fórmula (10):
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
onde a>0 é constante, x é a variável de integração e C é a constante de integração.
  • Fórmula (11) (para referência, não será usada diretamente aqui):
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln\!\big|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\big|+C,
onde a>0.
Explicação rápida do que significa cada coisa: em (10) a é o número que aparece como quadrado dentro da raiz; \arcsin é a função inversa do seno (ramo principal com valores em -\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}); C é a constante arbitrária da primitiva.

Passo 3

Decidir qual fórmula usar.
  • Aqui a integranda tem a forma \dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} com a^{2}=9. Portanto usamos a fórmula (10) com a=3.

Passo 4

Aplicação direta da fórmula (10).
  • Substituindo a=3 em (10) obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Passo 5

Derivação alternativa — mostrar por substituição trigonométrica (para aprender a técnica e ver por que a fórmula vale).
  • Faça a substituição trigonométrica padrão para a^{2}-x^{2}: assuma x=3\sin\theta. Então
dx=3\cos\theta\,d\theta
e
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=3\cos\theta,
onde escolhe‑se \cos\theta\ge0 (ramo principal) para manter consistência com |x|\le3 e \theta\in\big[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big].
  • Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}=\int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta}=\int d\theta=\theta + C.
  • Voltar à variável x: como x=3\sin\theta então \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right). Logo a primitiva é
\theta + C=\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida derivando a resposta (confirmação para a prova).
  • Diferenciando \arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right):
\frac{d}{dx}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{3}\right) =\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{9}}}\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+C

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