Obtenha o ângulo entre os pares de vetores de R^{2}.
u=(3,1) e v=(6,2)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores \,u=(3,1) e \,v=(6,2) em \mathbb{R}^2. Vamos usar o produto escalar e as normas dos vetores para encontrar \theta tal que
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert}.

Passo 2

Calculamos o produto escalar:
u\cdot v = 3\cdot6 + 1\cdot2 = 18 + 2 = 20.

Passo 3

Calculamos as normas:
\lVert u\rVert = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}, \quad \lVert v\rVert = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{20}{\sqrt{10}\,\sqrt{40}} = \frac{20}{\sqrt{400}} = \frac{20}{20} = 1.
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\theta = \operatorname{arccos}(1) = 0.

Resposta

\theta = 0 (rad), ou equivalentemente \theta = 0^\circ.

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