Considere o conjunto \mathrm{B}=\{\mathrm{v} 1, \mathrm{v} 2, \mathrm{v} 3\}, onde \mathrm{v}_{1}=(1,2,3), \mathrm{v}_{2}= (-5,1,1) e \mathrm{v}_{3}=(0,0,1).
Calcule o ângulo, dois a dois, formado pelos vetores de B

Passo 1

O enunciado pede o ângulo formado por cada par de vetores em
\mathrm{B}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
com
v_{1}=(1,2,3),\quad v_{2}=(-5,1,1),\quad v_{3}=(0,0,1).
O conteúdo necessário é o produto escalar e a norma de vetores, já que o ângulo \theta entre dois vetores u e v obedece
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|}.

Passo 2

Calcular as normas dos vetores usando
\|v\|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}.
Para v_{1}:
\|v_{1}\| = \sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}} = \sqrt{14}.
Para v_{2}:
\|v_{2}\| = \sqrt{(-5)^{2}+1^{2}+1^{2}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.
Para v_{3}:
\|v_{3}\| = \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}} = 1.

Passo 3

Calcular os produtos escalares de cada par:
Para v_{1} e v_{2}:
v_{1}\cdot v_{2} = 1\cdot(-5) + 2\cdot1 + 3\cdot1 = -5 + 2 + 3 = 0.
Para v_{1} e v_{3}:
v_{1}\cdot v_{3} = 1\cdot0 + 2\cdot0 + 3\cdot1 = 3.
Para v_{2} e v_{3}:
v_{2}\cdot v_{3} = (-5)\cdot0 + 1\cdot0 + 1\cdot1 = 1.

Passo 4

Aplicar a fórmula do cosseno:
Para \theta_{12}=\angle(v_{1},v_{2}):
\cos\theta_{12} = \frac{v_{1}\cdot v_{2}}{\|v_{1}\|\|v_{2}\|} = \frac{0}{\sqrt{14}\,(3\sqrt{3})} = 0,
logo \theta_{12} = \operatorname{arccos}(0) = 90^\circ.
Para \theta_{13}=\angle(v_{1},v_{3}):
\cos\theta_{13} = \frac{3}{\sqrt{14}\;\cdot1} = \frac{3}{\sqrt{14}},
portanto
\theta_{13} = \operatorname{arccos}\!\bigl(3/\sqrt{14}\bigr)\approx36{,}87^\circ.
Para \theta_{23}=\angle(v_{2},v_{3}):
\cos\theta_{23} = \frac{1}{(3\sqrt{3})\cdot1} = \frac{1}{3\sqrt{3}},
logo
\theta_{23} = \operatorname{arccos}\!\bigl(1/(3\sqrt{3})\bigr)\approx78{,}90^\circ.

Resposta

\displaystyle \angle(v_{1},v_{2})=90^\circ,\quad \angle(v_{1},v_{3})\approx36{,}87^\circ,\quad \angle(v_{2},v_{3})\approx78{,}90^\circ.

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