Considere o conjunto \mathrm{B}=\{\mathrm{v} 1, \mathrm{v} 2, \mathrm{v} 3\}, onde \mathrm{v}_{1}=(1,2,3), \mathrm{v}_{2}= (-5,1,1) e \mathrm{v}_{3}=(0,0,1).
Verifique quais vetores de B , dois a dois, são ortogonais ou paralelos.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores v_1=(1,2,3), v_2=(-5,1,1) e v_3=(0,0,1) em \mathbb{R}^3 e pede para verificar, em cada par, se são ortogonais (quando o produto escalar é zero) ou paralelos (quando um é múltiplo escalar do outro). Vamos usar o produto interno para testar ortogonalidade e o critério de múltiplo escalar para testar paralelismo.

Passo 2

Calculamos os produtos escalares de cada par:
v_1 \cdot v_2 = (1)(-5) + (2)(1) + (3)(1) = -5 + 2 + 3 = 0
v_1 \cdot v_3 = (1)(0) + (2)(0) + (3)(1) = 3
v_2 \cdot v_3 = (-5)(0) + (1)(0) + (1)(1) = 1

Passo 3

Como v_1 \cdot v_2 = 0, concluímos que v_1 e v_2 são ortogonais. Os outros produtos escalares ( v_1 \cdot v_3 = 3 e v_2 \cdot v_3 = 1) são diferentes de zero, logo v_1 e v_3 não são ortogonais, nem v_2 e v_3.

Passo 4

Para testar paralelismo, verificamos se existe \lambda tal que u = \lambda w.
  • Entre v_1 e v_2: \tfrac{1}{-5}\neq\tfrac{2}{1}, logo não há \lambda que escale todas as componentes.
  • Entre v_1 e v_3: a primeira componente exigiria 1=\lambda\cdot0, impossível.
  • Entre v_2 e v_3: a primeira componente exigiria -5=\lambda\cdot0, impossível.
    Portanto, nenhum par é paralelo.

Resposta

Apenas v_1 e v_2 são ortogonais; não há pares de vetores paralelos.

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