Obtenha, em cada item, uma matriz quadrada de ordem 3 tal que:
a) a_{i j}=\left\{i^{2}+j\right., se i=j 2 i-j, se i \neq j

Passo 1

O enunciado pede: construir uma matriz quadrada de ordem 3 cujos elementos a_{ij}\) são dados por uma regra por partes: \[a_{ij}=\begin{cases} i^{2}+j, & \text{se } i=j,\\[4pt] 2i-j, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
As perguntas implícitas são: calcular todos os elementos a_{ij}\] para \(i,j\in\{1,2,3\} e apresentar a matriz 3\times3 resultante.]

Passo 2

Vamos entender como indexar e aplicar a regra. A matriz é de ordem 3, então as linhas e colunas têm índices i=1,2,3 e j=1,2,3. Para cada posição (i,j) devemos:
  • se i=j usar a fórmula \;a_{ij}=i^{2}+j;\n
  • se i\neq j usar a fórmula \;a_{ij}=2i-j.
Vou calcular cada elemento explicitamente, linha por linha.

Passo 3

Calcular os elementos da diagonal (caso i=j):
a_{11}=1^{2}+1=1+1=2,
a_{22}=2^{2}+2=4+2=6,
a_{33}=3^{2}+3=9+3=12.

Passo 4

Calcular os elementos da primeira linha com i=1 e j\neq1:
a_{12}=2\cdot1-2=2-2=0,
a_{13}=2\cdot1-3=2-3=-1.

Passo 5

Calcular os elementos da segunda linha com i=2 e j\neq2:
a_{21}=2\cdot2-1=4-1=3,
a_{23}=2\cdot2-3=4-3=1.

Passo 6

Calcular os elementos da terceira linha com i=3 e j\neq3:
a_{31}=2\cdot3-1=6-1=5,
a_{32}=2\cdot3-2=6-2=4.

Passo 7

Agora montamos a matriz 3\times3 colocando cada a_{ij} na posição correspondente. Em forma matricial:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 6 & 1 \\\\ 5 & 4 & 12 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\\\ 3 & 6 & 1 \\\\ 5 & 4 & 12 \end{pmatrix}

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