Encontre a transposta das seguintes matrizes:
b) B=\left[\begin{array}{lllll}0 & 4 & 2 & 1 & -5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a transposta da matriz B dada por
B=\left[\begin{array}{lllll}0 & 4 & 2 & 1 & -5 \end{array}\right].
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • B é uma matriz linha (ou vetor linha) com uma única linha e cinco colunas.
  • Os elementos dessa linha, da esquerda para a direita, são 0,\;4,\;2,\;1,\;-5.
    A tarefa é construir a matriz transposta B^{T}.

Passo 2

Definição e ideia prática da transposta (a mini-aula):
  • Para uma matriz A=(a_{ij}) de tamanho m\times n, a transposta A^{T} é a matriz cujos elementos são dados por
(A^{T})_{ij}=a_{ji}.
  • Em palavras: a transposta troca linhas por colunas. A i-ésima linha de A vira a i-ésima coluna de A^{T}.
  • Consequência importante de dimensões: se A é m\times n, então A^{T} é n\times m.
    Exemplo rápido para fixar: se A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix} (tamanho 2\times3), então A^{T} será tamanho 3\times2 e terá as colunas formadas pelas linhas de A.

Passo 3

Identificar as entradas de B com indices:
escrevendo B=(b_{1j}) com j=1,2,3,4,5, temos
b_{11}=0,\quad b_{12}=4,\quad b_{13}=2,\quad b_{14}=1,\quad b_{15}=-5.
Isso só organiza os números com índices para aplicar a definição.

Passo 4

Aplicar a definição da transposta ao caso de B:
  • Pela definição, (B^{T})_{ij}=b_{ji}.
  • Como B tem só a linha i=1, a transposta terá entradas (B^{T})_{j1}=b_{1j} para j=1,\dots,5.
  • Ou seja, as entradas de B que estavam na linha única passam a ocupar a única coluna de B^{T}, na mesma ordem: primeiro b_{11}, depois b_{12}, etc.

Passo 5

Checar dimensões e forma final (explicação prática para a prova):
  • Dimensão: B é 1\times5, logo B^{T} será 5\times1.
  • Procedimento na prova sem errar: escreva os elementos do vetor linha em uma coluna, mantendo a ordem. Isso é sempre válido e rápido em prova.

Resposta

B^{T}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]4\\[4pt]2\\[4pt]1\\[4pt]-5\end{pmatrix}]

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