Obtenha o campo elétrico de um anel carregado e de um disco carregado. Faça todos os procedimentos algébricos detalhados e analise os casos limites nos dois problemas.
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar o campo elétrico no eixo de um anel circular uniformemente carregado e, em seguida, o campo no eixo de um disco uniformemente carregado. Vamos usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição. Para o anel precisamos distribuir a carga
ao longo de um círculo de raio
; para o disco vamos decompor em anéis concêntricos de densidade superficial
.
Passo 2
Campo no eixo de um anel de raio
e carga total
.
Escolhemos um elemento de carga
Escolhemos um elemento de carga
onde
varia de
a
. A distância do elemento ao ponto
, no eixo a uma altura
, é
Pela lei de Coulomb, o elemento de campo tem componente axial
Substituindo e integrando sobre
:
Passo 3
Análise de casos limites do anel:
Para , temos
, logo
Para
o que coincide com a lei de Coulomb para carga pontual.
Para , expandindo em série
, obtemos
Para
isto é, campo praticamente linear em
perto do centro.
Passo 4
Campo no eixo de um disco de raio
e densidade superficial
.
Decompomos o disco em anéis ao raio de largura
. Cada anel tem carga
Decompomos o disco em anéis ao raio
O campo axial gerado por esse anel, à altura
, é
Agora integramos
de
a
:
Passo 5
Análise de casos limites do disco:
Para ,
Para
que é o campo de um plano infinito uniformemente carregado.
Para , note que
, então
Para
Como
, fica
confirmando o comportamento de carga pontual à longa distância.
Para com
fixo,
, ou seja, o disco vira um plano infinito.
Para
Resposta
Campo do anel no eixo:
Limites: para
,
; para
,
.\n
Campo do disco no eixo:
Campo do disco no eixo:
Limites: para
,
; para
,
; para
,
.