Obtenha o campo elétrico de um anel carregado e de um disco carregado. Faça todos os procedimentos algébricos detalhados e analise os casos limites nos dois problemas.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar o campo elétrico no eixo de um anel circular uniformemente carregado e, em seguida, o campo no eixo de um disco uniformemente carregado. Vamos usar a lei de Coulomb e o princípio da superposição. Para o anel precisamos distribuir a carga Q ao longo de um círculo de raio a; para o disco vamos decompor em anéis concêntricos de densidade superficial \sigma.

Passo 2

Campo no eixo de um anel de raio a e carga total Q.
Escolhemos um elemento de carga
dq = \lambda\,dl = \frac{Q}{2\pi a}\,a\,d\varphi = \frac{Q}{2\pi}\,d\varphi,
onde \varphi varia de 0 a 2\pi. A distância do elemento ao ponto P, no eixo a uma altura z, é
r = \sqrt{a^2 + z^2}.
Pela lei de Coulomb, o elemento de campo tem componente axial
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dq}{r^2}\,\cos\theta \quad\text{com}\quad \cos\theta = \frac{z}{r}.
Substituindo e integrando sobre \varphi:
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{2\pi}\frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}}\,d\varphi \;\Longrightarrow\; E_z = \int_0^{2\pi} dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 3

Análise de casos limites do anel:
Para \,z\gg a, temos \sqrt{a^2+z^2}\approx z, logo
E_z\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,z}{z^3} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{z^2},
o que coincide com a lei de Coulomb para carga pontual.
Para \,z\ll a, expandindo em série \,(a^2+z^2)^{-3/2}\approx a^{-3}\bigl(1 - \tfrac{3}{2}(z^2/a^2)\bigr), obtemos
E_z\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,z}{a^3},
isto é, campo praticamente linear em z perto do centro.

Passo 4

Campo no eixo de um disco de raio R e densidade superficial \sigma.
Decompomos o disco em anéis ao raio r de largura dr. Cada anel tem carga
dQ = \sigma\,(2\pi r\,dr).
O campo axial gerado por esse anel, à altura z, é
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dQ\,z}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2\pi r\,z\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}}.
Agora integramos r de 0 a R:
E_z = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(r^2+z^2)^{3/2}} = \frac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}\right]_{0}^{R} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr).

Passo 5

Análise de casos limites do disco:
Para z=0,
E_z(0) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(1 - 0\bigr) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
que é o campo de um plano infinito uniformemente carregado.
Para z\gg R, note que \sqrt{R^2+z^2}\approx z\bigl(1+\tfrac{R^2}{2z^2}\bigr), então
E_z\approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \frac{z}{z(1+R^2/(2z^2))}\Bigr) \approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\frac{R^2}{2z^2}.
Como Q=\pi R^2\sigma, fica
E_z\approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{z^2},
confirmando o comportamento de carga pontual à longa distância.
Para R\to\infty com z fixo, E_z\to\sigma/(2\varepsilon_0), ou seja, o disco vira um plano infinito.

Resposta

Campo do anel no eixo:
E_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q\,z}{(a^2+z^2)^{3/2}}.
Limites: para z\gg a, E_z\approx (4\pi\varepsilon_0)^{-1}Q/z^2; para z\ll a, E_z\approx(4\pi\varepsilon_0)^{-1}Q\,z/a^3.\n
Campo do disco no eixo:
E_z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr).
Limites: para z=0, E_z=\sigma/(2\varepsilon_0); para z\gg R, E_z\approx(4\pi\varepsilon_0)^{-1}Q/z^2; para R\to\infty, E_z\to\sigma/(2\varepsilon_0).

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