(a) Obtenha o campo elétrico resultante de um plano infinito carregado positivamente, c densidade de carga
;
(b) Obtenha os campos elétricos resultantes de dois planos paralelos carregados com mes densidades de carga e sinais contrários;
© Obtenha os campos elétricos resultantes se a densidade de carga do plano positivo for od da densidade de carga do plano negativo.
(b) Obtenha os campos elétricos resultantes de dois planos paralelos carregados com mes densidades de carga e sinais contrários;
© Obtenha os campos elétricos resultantes se a densidade de carga do plano positivo for od da densidade de carga do plano negativo.
Passo 1
Tranquilo! O exercício é da parte de Eletrostática, mais precisamente de “campo elétrico de planos infinitos” usando a Lei de Gauss. Vamos precisar saber que campo elétrico de um plano infinito uniforme de densidade de carga superficial σ é constante e dado por
e depois usar superposição para juntar dois planos.
Passo 2
(a) Plano infinito com densidade +σ:
- Pegamos uma “caixinha” gaussiana em forma de pílula atravessando o plano (área A em cima e A embaixo).
- A Lei de Gauss diz
- O único fluxo vem pelas duas tampas (em cada tampa o campo tem módulo E e é perpendicular):
- A carga interna é
. - Logo
O campo sai do plano (já que σ>0) e tem mesmo valor de cada lado.
Passo 3
(b) Dois planos paralelos com densidades +σ e −σ:
- Cada plano, isoladamente, gera
saindo do positivo e entrando no negativo. - Entre eles (região interna): os campos apontam ambos do positivo para o negativo, então somam:
indo do plano +σ para o plano −σ. - Fora (regiões externas): os campos de cada plano são de sentidos opostos e mesmo módulo, então se cancelam:
Passo 4
© Agora o plano positivo tem densidade
que é, digamos, o dobro da do negativo. Seja o negativo
e o positivo
.
- Campo de cada um:
- Região entre os planos (entre + e −): ambos os campos vão do positivo para o negativo, então
- Região externa ao lado do plano + (à esquerda do +σ):
- O plano +gera campo para longe, ou seja, para a esquerda:
à esquerda. - O plano − gera campo para ele mesmo (pra direita) na mesma região.
Então o resultante é
ou seja, módulo para a esquerda. - O plano +gera campo para longe, ou seja, para a esquerda:
- Região externa ao lado do plano − (à direita do −σ):
- O plano + gera campo para longe (pra direita).
- O plano − também gera campo para si (pra esquerda).
Resultado
ou seja, para a direita.
Resposta
(a)
de cada lado, saindo do plano.
(b) Entre: do +σ para −σ; fora:
.
© Com σ₁=2σ e σ₂=−σ:
• Entre: (do + para o −).
• À esquerda do +σ: para a esquerda.
• À direita do −σ: para a direita.
(b) Entre:
© Com σ₁=2σ e σ₂=−σ:
• Entre:
• À esquerda do +σ:
• À direita do −σ: