(a) Obtenha o campo elétrico resultante de um plano infinito carregado positivamente, c densidade de carga sigma;
(b) Obtenha os campos elétricos resultantes de dois planos paralelos carregados com mes densidades de carga e sinais contrários;
© Obtenha os campos elétricos resultantes se a densidade de carga do plano positivo for od da densidade de carga do plano negativo.

Passo 1

Tranquilo! O exercício é da parte de Eletrostática, mais precisamente de “campo elétrico de planos infinitos” usando a Lei de Gauss. Vamos precisar saber que campo elétrico de um plano infinito uniforme de densidade de carga superficial σ é constante e dado por
E = sigma2varepsilon0
e depois usar superposição para juntar dois planos.

Passo 2

(a) Plano infinito com densidade +σ:
  1. Pegamos uma “caixinha” gaussiana em forma de pílula atravessando o plano (área A em cima e A embaixo).
  2. A Lei de Gauss diz Phi = oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0
  3. O único fluxo vem pelas duas tampas (em cada tampa o campo tem módulo E e é perpendicular): Phi = E,A + E,A = 2EA
  4. A carga interna é 2E A = sigma Avarepsilon0 ;Rightarrow; E = sigma2varepsilon0 .
  5. Logo
O campo sai do plano (já que σ>0) e tem mesmo valor de cada lado.

Passo 3

(b) Dois planos paralelos com densidades +σ e −σ:
  1. Cada plano, isoladamente, gera Erm entre = sigma2varepsilon0 + sigma2varepsilon0 = sigmavarepsilon0, saindo do positivo e entrando no negativo.
  2. Entre eles (região interna): os campos apontam ambos do positivo para o negativo, então somam: Erm fora = 0 indo do plano +σ para o plano −σ.
  3. Fora (regiões externas): os campos de cada plano são de sentidos opostos e mesmo módulo, então se cancelam:

Passo 4

© Agora o plano positivo tem densidade E1 = sigma12varepsilon0 = 2sigma2varepsilon0 = sigmavarepsilon0, E2 = |sigma2|2varepsilon0 = sigma2varepsilon0 que é, digamos, o dobro da do negativo. Seja o negativo Erm entre = E1 + E2 = sigmavarepsilon0 + sigma2varepsilon0 = 3sigma2varepsilon0 e o positivo Erm à;esquerda = E2 - E1 = sigma2varepsilon0 - sigmavarepsilon0 = -,sigma2varepsilon0, .
  1. Campo de cada um: Erm à;direita = E1 - E2 = sigmavarepsilon0 - sigma2varepsilon0 = sigma2varepsilon0,
  2. Região entre os planos (entre + e −): ambos os campos vão do positivo para o negativo, então
  3. Região externa ao lado do plano + (à esquerda do +σ):
    • O plano +gera campo para longe, ou seja, para a esquerda: à esquerda.
    • O plano − gera campo para ele mesmo (pra direita) na mesma região.
      Então o resultante é
    àou seja, módulo para a esquerda.
  4. Região externa ao lado do plano − (à direita do −σ):
    • O plano + gera campo para longe (pra direita).
    • O plano − também gera campo para si (pra esquerda).
      Resultado
    àou seja, para a direita.

Resposta

(a) de cada lado, saindo do plano.
(b) Entre: do +σ para −σ; fora: .
© Com σ₁=2σ e σ₂=−σ:
• Entre: (do + para o −).
• À esquerda do +σ: para a esquerda.
• À direita do −σ: para a direita.

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