O potencial elétrico, para uma dada distribuição de cargas, é dado por V=80 x^2+60 y^2, com V em volts. Determine o vetor campo elétrico no ponto ( -2 m, 4 m, 6 m ).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma expressão que define o potencial elétrico: $ V = 80x^{2} + 60y^{2} $, onde $ V $ está em volts. A pergunta é para determinar o vetor campo elétrico no ponto V = 80x^2 + 60y^2 .
Matéria envolvida: Cálculo vetorial aplicado ao eletromagnetismo, especificamente o relacionamento entre o potencial elétrico e o campo elétrico.
O que precisamos para resolver:
  1. Entender que o campo elétrico $ \vec{E} $ é relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela equação $ \vec{E} = -\nabla V $, ou seja, o campo elétrico é o negativo do gradiente de $ V $.
  2. Calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ para encontrar as componentes de $ \vec{E} $.

Passo 2

Vamos lembrar que o gradiente $ \nabla V $ em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla V
Então, para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $, usamos:
nabla V = ( partial Vpartial x,, partial Vpartial y,, partial Vpartial z )

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a $ x $:
x
Então,
partial Vpartial x = partialpartial x (80x^2 + 60y^2) = 160x
  1. Derivada em relação a $ y $:
Ex = -160x
Então,
y
  1. Derivada em relação a $ z $:
partial Vpartial y = partialpartial y (80x^2 + 60y^2) = 120y
Porque $ V $ não depende de $ z $, então:
Ey = -120y

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto (-2, m,, 4, m,, 6, m) nas expressões que encontramos para $ E_{x} $, $ E_{y} $ e $ E_{z} $:
  1. Componente $ E_{x} $:
Ex
  1. Componente $ E_{y} $:
Ey
  1. Componente $ E_{z} $:
Ez

Resposta

O vetor campo elétrico no ponto (-2, m,, 4, m,, 6, m) é:
E = ( 320, V/m, -480, V/m, 0, V/m )

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