O potencial elétrico, para uma dada distribuição de cargas, é dado por
, com
volts. Determine o vetor campo elétrico no ponto (
).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma expressão que define o potencial elétrico: $ V = 80x^{2} + 60y^{2} $, onde $ V $ está em volts. A pergunta é para determinar o vetor campo elétrico no ponto
.
Matéria envolvida: Cálculo vetorial aplicado ao eletromagnetismo, especificamente o relacionamento entre o potencial elétrico e o campo elétrico.
O que precisamos para resolver:
- Entender que o campo elétrico $ \vec{E} $ é relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela equação $ \vec{E} = -\nabla V $, ou seja, o campo elétrico é o negativo do gradiente de $ V $.
- Calcular as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $ para encontrar as componentes de $ \vec{E} $.
Passo 2
Vamos lembrar que o gradiente $ \nabla V $ em coordenadas cartesianas é dado por:
Então, para encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $, usamos:
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a $ x $:
Então,
- Derivada em relação a $ y $:
Então,
- Derivada em relação a $ z $:
Porque $ V $ não depende de $ z $, então:
Passo 4
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
nas expressões que encontramos para $ E_{x} $, $ E_{y} $ e $ E_{z} $:
- Componente $ E_{x} $:
- Componente $ E_{y} $:
- Componente $ E_{z} $:
Resposta
O vetor campo elétrico no ponto
é: