Obtenha o campo
em todo o espaço criado por uma distribuição plana infinita de corrente de densidade uniforme
.
Passo 1
O enunciado pede: “Obtenha o campo
em todo o espaço criado por uma distribuição plana infinita de corrente de densidade uniforme
.” \n
Informações dadas (explicitadas): \n
Informações dadas (explicitadas): \n
- Há uma folha plana infinita de corrente localizada no plano
(interpreto a “distribuição plana infinita” como a folha que se estende infinitamente nas direções e ). \n - A densidade superficial de corrente é
, isto é, a corrente flui na direção em toda a folha, com intensidade por unidade de comprimento . \n - Queremos
em todo o espaço (regiões , e comportamento na própria folha). \n
Nada mais foi pedido; vamos resolver assumindo regime estacionário (corrente fixa no tempo) e meio livre com permeabilidade.
Passo 2
Simetrias e dedução do formato de
. \n
- A folha é infinita e uniforme em
e , então as propriedades não mudam se eu transladar na direção ou . Logo, só pode depender da coordenada : . \n - A corrente está ao longo de
. Pelo princípio de simetria (e pelo efeito de enrolamento das linhas de campo magnético ao redor de correntes), as linhas de ficam no plano - . \n - Além disso, reflexão
não altera o problema (pois a folha é simétrica), então não haverá componente ao longo de . \n - A única direção consistente para
que respeita todas as simetrias é a direção (ou seja, ). Intuitivamente: correntes ao longo de geram campos que circulam no plano - , e uniformidade força a dependência apenas de .
Passo 3
Enunciando a lei de Ampère que vamos usar e o que cada símbolo significa. \n
A forma integral da lei de Ampère para correntes estacionárias é
A forma integral da lei de Ampère para correntes estacionárias é
onde: \n
-
é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado ; \n -
é a permeabilidade do vácuo; \n -
é a corrente elétrica total atravessando a superfície delimitada por . \n
Vamos escolher um caminhosimples que explore a simetria: um retângulo de comprimento na direção e altura atravessando a folha em . As duas arestas horizontais estão em e (ver mentalmente um retângulo perpendicular à folha).
Passo 4
Avaliação da integral de linha na escolha do laço e cálculo de
. \n
- Como
está na direção e depende só de , as contribuições nas arestas verticais (paralelas a ) são nulas porque ali é paralelo a e . \n - Nas duas arestas horizontais (comprimento
cada), temos . Escolhendo a orientação do laço tal que o lado superior é percorrido no sentido positivo : a contribuição total da integral é
- Agora
: a corrente que atravessa a superfície do laço é a corrente que passa pela faixa de comprimento na folha. Como a folha tem densidade superficial , a corrente atravessando a janela vale . Explico: tem unidades corrente/metro; multiplicando pela largura (extensão ao longo de ) obtemos a corrente total atravessando a linha fechada. \n - Aplicando Ampère:
Cancelando
,
Como
foi arbitrário, isto vale para o salto atravessando a folha:
Passo 5
Usando simetria para obter valores individuais de
acima e abaixo da folha. \n
- Pela simetria do problema em relação a reflexão
combinada com a orientação da corrente, espera-se que o campo mude de sinal quando trocamos de lado da folha: isto é, o campo é anti-par (odd) em : . Intuição: não há nenhuma direção privilegiada ao trocar por exceto que o sentido do “enrolamento” do campo se inverte, então o campo deve ser de sinais opostos. \n - Admitindo
e usando o salto obtido:
Logo
Pelo mesmo raciocínio (campo constante em cada região por simetria), esses valores valem para toda a região
e
respectivamente. \n
- Interpretação de sinal (relembre a regra da mão direita): corrente no sentido
produz campo apontando para para e para para . Isso é consistente com o resultado numérico acima.
Passo 6
Escrevendo a solução final de forma compacta e checando com a condição de contorno geral. \n
Podemos escrever o campo em todo o espaço como
Podemos escrever o campo em todo o espaço como
onde
\n
Observação sobre
: na própria folha o campo é descontínuo; frequentemente define-se o valor na superfície como a média dos lados, isto é
se for necessário atribuir um valor. \n
Checagem rápida com a condição de contorno magnetostática (fórmula vetorial): . Tomando
,
, que coincide com
. Tudo consistente.]
Checagem rápida com a condição de contorno magnetostática (fórmula vetorial):
Passo 7
Resumo prático (para prova) e dica. \n
- Método rápido em prova: usar simetria para afirmar
depende só de e aponta em ; aplicar Ampère com retângulo atravessando a folha para obter o salto ; usar a simetria anti-par para concluir os valores em cada lado. \n - Lembre-se: campo é independente de distância da folha (constante em cada lado) e sofre salto igual a
.
Resposta
Para
\n
Para \n
Na superfície o campo é descontínuo; frequentemente toma-se o valor médio
.
Para
Na superfície