Obtenha o campo \vec{B} em todo o espaço criado por uma distribuição plana infinita de corrente de densidade uniforme \vec{K}=K_{0} \hat{e}_{y}.

Passo 1

O enunciado pede: “Obtenha o campo \vec{B} em todo o espaço criado por uma distribuição plana infinita de corrente de densidade uniforme \vec{K}=K_{0}\hat{e}_{y}.” \n
Informações dadas (explicitadas): \n
  • Há uma folha plana infinita de corrente localizada no plano \;z=0 (interpreto a “distribuição plana infinita” como a folha que se estende infinitamente nas direções x e y). \n
  • A densidade superficial de corrente é \;\vec{K}=K_{0}\hat{e}_{y}, isto é, a corrente flui na direção +y em toda a folha, com intensidade por unidade de comprimento \;K_{0}. \n
  • Queremos \vec{B} em todo o espaço (regiões z>0, z<0 e comportamento na própria folha). \n
    Nada mais foi pedido; vamos resolver assumindo regime estacionário (corrente fixa no tempo) e meio livre com permeabilidade \mu_{0}.

Passo 2

Simetrias e dedução do formato de \vec{B}. \n
  • A folha é infinita e uniforme em x e y, então as propriedades não mudam se eu transladar na direção x ou y. Logo, \vec{B} só pode depender da coordenada \;z: \vec{B}=\vec{B}(z). \n
  • A corrente está ao longo de \hat{e}_{y}. Pelo princípio de simetria (e pelo efeito de enrolamento das linhas de campo magnético ao redor de correntes), as linhas de \vec{B} ficam no plano x- z. \n
  • Além disso, reflexão y\mapsto -y não altera o problema (pois a folha é simétrica), então não haverá componente ao longo de \hat{e}_{y}. \n
  • A única direção consistente para \vec{B} que respeita todas as simetrias é a direção \hat{e}_{x} (ou seja, \vec{B}(z)=B_{x}(z)\hat{e}_{x}). Intuitivamente: correntes ao longo de y geram campos que circulam no plano x- z, e uniformidade força a dependência apenas de z.

Passo 3

Enunciando a lei de Ampère que vamos usar e o que cada símbolo significa. \n
A forma integral da lei de Ampère para correntes estacionárias é
\oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}I_{\text{enc}},
onde: \n
  • \oint_{\mathcal{C}}\vec{B}\cdot d\vec{\ell} é a integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado \mathcal{C}; \n
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo; \n
  • I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando a superfície delimitada por \mathcal{C}. \n
    Vamos escolher um caminho \mathcal{C} simples que explore a simetria: um retângulo de comprimento L na direção x e altura 2h atravessando a folha em z=0. As duas arestas horizontais estão em z=+h e z=-h (ver mentalmente um retângulo perpendicular à folha).

Passo 4

Avaliação da integral de linha na escolha do laço e cálculo de I_{\text{enc}}. \n
  • Como \vec{B} está na direção \hat{e}_{x} e depende só de z, as contribuições nas arestas verticais (paralelas a z) são nulas porque d\vec{\ell} ali é paralelo a \hat{e}_{z} e \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=0. \n
  • Nas duas arestas horizontais (comprimento L cada), temos \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_{x}(z)\,dx. Escolhendo a orientação do laço tal que o lado superior é percorrido no sentido positivo x: a contribuição total da integral é
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_{x}(+h)\,L - B_{x}(-h)\,L = L\bigl(B_{x}(+h)-B_{x}(-h)\bigr).
  • Agora I_{\text{enc}}: a corrente que atravessa a superfície do laço é a corrente que passa pela faixa de comprimento L na folha. Como a folha tem densidade superficial \vec{K}=K_{0}\hat{e}_{y}, a corrente atravessando a janela vale \;I_{\text{enc}}=K_{0}L. Explico: \vec{K} tem unidades corrente/metro; multiplicando pela largura L (extensão ao longo de x) obtemos a corrente total atravessando a linha fechada. \n
  • Aplicando Ampère:
L\bigl(B_{x}(+h)-B_{x}(-h)\bigr)=\mu_{0}K_{0}L.
Cancelando L,
B_{x}(+h)-B_{x}(-h)=\mu_{0}K_{0}.
Como h>0 foi arbitrário, isto vale para o salto atravessando a folha:
B_{x}(z=0^{+})-B_{x}(z=0^{-})=\mu_{0}K_{0}.

Passo 5

Usando simetria para obter valores individuais de \vec{B} acima e abaixo da folha. \n
  • Pela simetria do problema em relação a reflexão z\mapsto -z combinada com a orientação da corrente, espera-se que o campo mude de sinal quando trocamos de lado da folha: isto é, o campo é anti-par (odd) em z: B_{x}(+z) = -B_{x}(-z). Intuição: não há nenhuma direção privilegiada ao trocar z por -z exceto que o sentido do “enrolamento” do campo se inverte, então o campo deve ser de sinais opostos. \n
  • Admitindo B_{x}(+0) = -B_{x}(-0) e usando o salto obtido:
B_{x}(+0)-\bigl(-B_{x}(+0)\bigr)=\mu_{0}K_{0}\quad\Rightarrow\quad 2B_{x}(+0)=\mu_{0}K_{0}.
Logo
B_{x}(+0)=\frac{\mu_{0}K_{0}}{2},\qquad B_{x}(-0)=-\frac{\mu_{0}K_{0}}{2}.
Pelo mesmo raciocínio (campo constante em cada região por simetria), esses valores valem para toda a região z>0 e z<0 respectivamente. \n
  • Interpretação de sinal (relembre a regra da mão direita): corrente no sentido +y produz campo apontando para +x para z>0 e para -x para z<0. Isso é consistente com o resultado numérico acima.

Passo 6

Escrevendo a solução final de forma compacta e checando com a condição de contorno geral. \n
Podemos escrever o campo em todo o espaço como
\vec{B}(z)=\frac{\mu_{0}K_{0}}{2}\,\operatorname{sgn}(z)\,\hat{e}_{x},
onde \operatorname{sgn}(z)=\begin{cases}+1,&z>0,\\[4pt]-1,&z<0.\end{cases} \n
Observação sobre z=0: na própria folha o campo é descontínuo; frequentemente define-se o valor na superfície como a média dos lados, isto é \vec{B}(0)=\vec{0} se for necessário atribuir um valor. \n
Checagem rápida com a condição de contorno magnetostática (fórmula vetorial): \hat{n}\times\bigl(\vec{B}_{\text{above}}-\vec{B}_{\text{below}}\bigr)=\mu_{0}\vec{K}. Tomando \hat{n}=\hat{e}_{z}, \hat{e}_{z}\times\bigl((\mu_{0}K_{0}/2)\hat{e}_{x}-(-\mu_{0}K_{0}/2)\hat{e}_{x}\bigr)=\hat{e}_{z}\times(\mu_{0}K_{0}\hat{e}_{x})=\mu_{0}K_{0}\hat{e}_{y}, que coincide com \mu_{0}\vec{K}. Tudo consistente.]

Passo 7

Resumo prático (para prova) e dica. \n
  • Método rápido em prova: usar simetria para afirmar \vec{B} depende só de z e aponta em \hat{e}_{x}; aplicar Ampère com retângulo atravessando a folha para obter o salto \;B_{x}(+0)-B_{x}(-0)=\mu_{0}K_{0}; usar a simetria anti-par para concluir os valores em cada lado. \n
  • Lembre-se: campo é independente de distância da folha (constante em cada lado) e sofre salto igual a \mu_{0}K_{0}.

Resposta

Para z>0:\quad \vec{B}=\dfrac{\mu_{0}K_{0}}{2}\,\hat{e}_{x} \n
Para z<0:\quad \vec{B}=-\dfrac{\mu_{0}K_{0}}{2}\,\hat{e}_{x} \n
Na superfície z=0 o campo é descontínuo; frequentemente toma-se o valor médio \vec{B}(0)=\vec{0}.

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