Obtenha a conjunta de X e Y e a marginal de Y, sendo dados:
p_{X}(x)=x / 3, x=1,2 ; p(y / x)=\binom{x}{y}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, y \in \mathbb{N}, y \leq x \text { e } x=1,2 .

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e pede duas coisas. As coisas dadas são:
p_X(x)=\frac{x}{3},\quad x=1,2,
e
p(y\mid x)=\binom{x}{y}\left(\frac{1}{2}\right)^{x},\quad y\in\mathbb{N},\; y\le x,\; x=1,2.
As perguntas são:
  1. Obter a distribuição conjunta de X e Y, ou seja p_{X,Y}(x,y).
  2. Obter a marginal de Y, ou seja p_Y(y).

Passo 2

Vou usar uma fórmula básica de probabilidade discreta: a relação entre probabilidade conjunta e condicional.
p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p(y\mid x).
Explicando cada termo de forma simples:
  • p_{X,Y}(x,y) é a probabilidade de ocorrer simultaneamente X=x e Y=y.
  • p_X(x) é a probabilidade marginal de X (já dada).
  • p(y\mid x) é a probabilidade condicional de Y=y quando sabemos que X=x (a binomial dada).
    Também é importante definir o suporte (os pares (x,y) que têm probabilidade possivelmente não-nula): como x=1,2 e para cada x temos y=0,1,\dots,x, os pares possíveis são
(x,y)\in\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)\}.

Passo 3

Calculo os valores numéricos de p_X(x) que vamos precisar:
p_X(1)=\frac{1}{3},\qquad p_X(2)=\frac{2}{3}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da junção para cada par permitido, mostrando as contas:
Para x=1:
p_{X,Y}(1,0)=p_X(1)\binom{1}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6},
p_{X,Y}(1,1)=p_X(1)\binom{1}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
Para x=2:
p_{X,Y}(2,0)=p_X(2)\binom{2}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6},
p_{X,Y}(2,1)=p_X(2)\binom{2}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot 2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3},
p_{X,Y}(2,2)=p_X(2)\binom{2}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{2}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6}.
Para quaisquer pares (x,y) fora da lista acima, a probabilidade conjunta é 0.

Passo 5

Verifico rapidamente que as probabilidades juntas somam 1 (checagem de normalização):
\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = \frac{4}{6}+\frac{2}{6}=1.
Ótimo — está consistente.

Passo 6

Agora obtenho a marginal de Y somando a conjunta sobre todos os valores de x possíveis (definição de marginal):
p_Y(y)=\sum_{x} p_{X,Y}(x,y).
Calculo separadamente para os valores possíveis de y:
  • Para y=0: contribuem x=1 e x=2,
p_Y(0)=p_{X,Y}(1,0)+p_{X,Y}(2,0)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}.
  • Para y=1: contribuem x=1 e x=2,
p_Y(1)=p_{X,Y}(1,1)+p_{X,Y}(2,1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
  • Para y=2: só contribui x=2,
p_Y(2)=p_{X,Y}(2,2)=\frac{1}{6}.
  • Para y\ge 3 (ou y<0): não há contribuição, então p_Y(y)=0.

Resposta

p_{X,Y}(x,y)=\dfrac{x}{3}\binom{x}{y}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x},\quad x=1,2,\; y=0,1,\dots,x; e p_{X,Y}(x,y)=0 caso contrário.
p_Y(0)=\dfrac{1}{3},\quad p_Y(1)=\dfrac{1}{2},\quad p_Y(2)=\dfrac{1}{6},\quad p_Y(y)=0 para os demais y.

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