Obtenha a conjunta de
e
e a marginal de
, sendo dados:
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e pede duas coisas. As coisas dadas são:
e
As perguntas são:
- Obter a distribuição conjunta de
e , ou seja . - Obter a marginal de
, ou seja .
Passo 2
Vou usar uma fórmula básica de probabilidade discreta: a relação entre probabilidade conjunta e condicional.
Explicando cada termo de forma simples:
-
é a probabilidade de ocorrer simultaneamente e . -
é a probabilidade marginal de (já dada). -
é a probabilidade condicional de quando sabemos que (a binomial dada).
Também é importante definir o suporte (os paresque têm probabilidade possivelmente não-nula): como e para cada temos , os pares possíveis são
Passo 3
Calculo os valores numéricos de
que vamos precisar:
Passo 4
Agora aplico a fórmula da junção para cada par permitido, mostrando as contas:
Para :
Para
Para
:
Para quaisquer pares
fora da lista acima, a probabilidade conjunta é
.
Passo 5
Verifico rapidamente que as probabilidades juntas somam
(checagem de normalização):
Ótimo — está consistente.
Passo 6
Agora obtenho a marginal de
somando a conjunta sobre todos os valores de
possíveis (definição de marginal):
Calculo separadamente para os valores possíveis de
:
- Para
: contribuem e ,
- Para
: contribuem e ,
- Para
: só contribui ,
- Para
(ou ): não há contribuição, então .