Suponha que o número de passas num bolo inglês tenha distribuição de Poisson de parâmetro 60. Um jogador compra um bolo tira todas as passas uma por uma e reparte as passas entre ele e você da seguinte maneira: depois da extração de cada passa ele joga uma moeda equilibrada, dando a passa a você se der cara, comendo-a ele mesmo se der coroa. Qual a distribuição do número de passas que você recebe? A esperança?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação 1: o número total de passas no bolo, que chamo de
, tem distribuição de Poisson com parâmetro . Ou seja, para ,
- Informação 2: depois de extrair cada passa, o jogador joga uma moeda justa; se der cara a passa vai para mim (você), se der coroa ele come. Cada passa é decidida por um lançamento independente.
- Perguntas: (a) qual é a distribuição do número de passas que eu recebo (chame esse número de
)? (b) qual é a esperança de ?
Passo 2
Condição natural: primeiro vou condicionar no número total de passas
. Se
(ou seja, sei que havia exatamente
passas), então cada uma é entregue a mim com probabilidade
, independentemente das outras. Isso é exatamente o modelo binomial. Portanto, para
,
Expliquei:
conta as escolhas de quais
passas dentre as
vão para mim;
é a probabilidade de dar cara nas
escolhidas e
para coroa nas outras.
Passo 3
Agora queremos a distribuição marginal de
. Usamos a regra da probabilidade total (mistura): para
,
Substituindo as fórmulas de
e
obtemos
Passo 4
Faço as simplificações algébricas passo a passo. Primeiro uso
:
Cancelando
e recolhendo fatores:
Factorizo
e faço a mudança de índice
(quando
tem
, quando
tem
):
Passo 5
Reconheço a soma como a série da exponencial:
. Aqui
. Assim
Substituindo na expressão de
:
Essa é exatamente a função massa de probabilidade de uma variável Poisson com parâmetro
.
Passo 6
Conclusão da distribuição: o número de passas que você recebe,
, tem distribuição de Poisson com parâmetro
. Em notação:
ou seja, para
,
Interpretação intuitiva (curta): cada passa existente foi “mantida” com probabilidade
independente; a operação de reter cada elemento independentemente é chamada de “thinning” da Poisson e transforma
em
quando a probabilidade de manter cada item é
. Aqui
e
, dando
.
Passo 7
Agora a esperança. Para uma Poisson com parâmetro
tem-se
. Assim, pela resposta do passo anterior,
Alternativa (dupla verificação) via esperança condicional:
. Como
, temos
, que coincide.