Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que X \sim N(0,1) e Y \sim N(1,4). Qual a distribuição do vetor (X, Y) ? E a distribuição condicional de 2 X / Y=y ?

Passo 1

O enunciado dá que X e Y são variáveis aleatórias independentes, com
X \sim N(0,1)
e
Y \sim N(1,4).
As perguntas são: (a) qual a distribuição do vetor (X,Y)? e (b) qual a distribuição condicional de 2X/Y dado Y=y (ou seja, a distribuição de 2X/Y quando sabemos que Y=y)?

Passo 2

Primeiro, vou explicar o que significa falar da distribuição do vetor (X,Y). Quando temos duas variáveis aleatórias, podemos reunir as médias em um vetor média \mu e as variâncias e covariâncias em uma matriz de covariância \Sigma. Para o caso conjunto normal de duas coordenadas, dizemos que (X,Y) tem distribuição normal multivariada de dimensão 2, escrita \,N_2(\mu,\Sigma), quando toda combinação linear \,aX+bY é normal para quaisquer escalares a,b. Aqui já parte do enunciado (independência e normais univariadas) garante isso.

Passo 3

Agora, como obter \mu e \Sigma a partir das informações dadas. A média de X é \,E[X]=0 e a média de Y é \,E[Y]=1. Então o vetor média é
\mu=\begin{pmatrix}E[X]\\[4pt]E[Y]\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A variância de X é \operatorname{Var}(X)=1 e a variância de Y é \operatorname{Var}(Y)=4. Como X e Y são independentes, a covariância \operatorname{Cov}(X,Y)=0. Portanto a matriz de covariância é diagonal:
\Sigma=\begin{pmatrix}\operatorname{Var}(X) & \operatorname{Cov}(X,Y)\\[4pt] \operatorname{Cov}(Y,X) & \operatorname{Var}(Y)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Conclusão sobre a primeira pergunta: o vetor (X,Y) tem distribuição normal bivariada com média e covariância obtidas acima. Em notação:
(X,Y)\sim N_2\!\left(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}\right).
Uma interpretação prática: a densidade conjunta é a densidade normal multivariada com esses parâmetros (por independência a densidade conjunta fatoriza em produto das densidades univariadas, mas a forma matricial acima já resume tudo).]

Passo 5

Agora vamos para a segunda pergunta: distribuição condicional de 2X/Y dado Y=y. Primeiro uma observação de conceito: quando condicionamos em Y=y, tratamos y como um valor fixo (uma constante). Assim, 2X/Y condicionado em Y=y é simplesmente uma transformação linear de X com multiplicador \,2/y.

Passo 6

Vou recordar uma propriedade útil e simples sobre normais e transformações lineares: se X\sim N(\mu,\sigma^2) e a,b são constantes, então
aX+b \sim N(a\mu+b,\;a^2\sigma^2).
Explicando por que: a média escala e desloca como E[aX+b]=aE[X]+b e a variância escala ao quadrado como \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X). Além disso combinações lineares de normais continuam normais.

Passo 7

Aplicando isso ao nosso caso: antes de condicionar, X\sim N(0,1). Condicionando em Y=y (com y visto como constante), temos
\left.\frac{2X}{Y}\right|_{Y=y} = \frac{2}{y}X.
Aqui a=\frac{2}{y} e b=0, \mu=0 e \sigma^2=1. Pelo resultado do Passo 6,
\left.\frac{2X}{Y}\right|_{Y=y} \sim N\!\left(0,\;\left(\frac{2}{y}\right)^2\cdot 1\right)=N\!\left(0,\;\frac{4}{y^2}\right).

Passo 8

Se quiser a forma da densidade condicional: para um valor real t,
f_{(2X/Y)\mid Y}(t\mid y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\,(4/y^2)}}\exp\!\left(-\frac{t^2}{2\,(4/y^2)}\right) =\frac{|y|}{2\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{y^2t^2}{8}\right),
com \,y\neq 0. (Observação: Y contínua tem probabilidade zero de ser exatamente zero, mas a expressão exige y\neq 0.)

Resposta

(X,Y)\sim N_2\!\left(\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}\right)
\displaystyle \left.\frac{2X}{Y}\right|_{Y=y}\sim N\!\left(0,\;\frac{4}{y^2}\right)]

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