Obtenha a curvatura das seguintes curvas regulares:
, (catenária)
Passo 1
O enunciado dá a curva regular
e pede para obter a curvatura dessa curva em função de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A coordenada
. - A coordenada
. - Quer-se a curvatura
para todo .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (curvatura de uma curva planar parametrizada por um parâmetro arbitrário).
Para uma curva planar
com derivadas suficientes, a curvatura
é dada por
Explicando cada símbolo:
-
é a derivada de em relação a . -
é a segunda derivada de em relação a . -
e são análogas para . - O numerador é o módulo do determinante formado pelas derivadas (é proporcional à “taxa de giro” do vetor tangente).
- O denominador normaliza pelo comprimento do vetor velocidade, elevado a
, para obter uma quantidade geométrica independente da parametrização.
Observação rápida: essa fórmula é prática em provas porque basta calcular primeiras e segundas derivadas e substituir.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
para a nossa curva.
Para
:
Para
:
(Lembrete sobre hiperbólicas:
e
. Além disso, a identidade fundamental é
.)
Passo 4
Substituir as derivadas na fórmula da curvatura.
O numerador fica
pois
para todo
.
O denominador fica
Usando a identidade
temos
. Portanto
Agora a curvatura é
Também se pode escrever usando a função secante hiperbólica:
.
Passo 5
Interpretação e valores notáveis (ajuda para fixar na prova):
- Em
: . A curvatura máxima ocorre no ponto mais baixo da catenária. - Quando
: , logo . As “pontas” da catenária ficam cada vez mais planas. - Raio de curvatura
.
Força! Se quiser, praticamos pedacinhos: por exemplo calcular
na prova sem calculadora aproximando
por
e seguindo a fórmula.