Obtenha a curvatura das seguintes curvas regulares:
\alpha(t)=(t, \operatorname{cosh} (t)), t \in \mathbb{R}, (catenária)

Passo 1

O enunciado dá a curva regular
\alpha(t) = (t,\\ \operatorname{cosh}(t)),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede para obter a curvatura dessa curva em função de t.
Informações relevantes fornecidas:
  • A coordenada x(t)=t.
  • A coordenada y(t)=\operatorname{cosh}(t).
  • Quer-se a curvatura \kappa(t) para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (curvatura de uma curva planar parametrizada por um parâmetro arbitrário).
Para uma curva planar \alpha(t)=(x(t),y(t)) com derivadas suficientes, a curvatura \kappa(t) é dada por
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Explicando cada símbolo:
  • x'(t) é a derivada de x em relação a t.
  • x''(t) é a segunda derivada de x em relação a t.
  • y'(t) e y''(t) são análogas para y.
  • O numerador é o módulo do determinante formado pelas derivadas (é proporcional à “taxa de giro” do vetor tangente).
  • O denominador normaliza pelo comprimento do vetor velocidade, elevado a 3/2, para obter uma quantidade geométrica independente da parametrização.
Observação rápida: essa fórmula é prática em provas porque basta calcular primeiras e segundas derivadas e substituir.

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t) para a nossa curva.
Para x(t)=t:
x'(t)=1,\qquad x''(t)=0.
Para y(t)=\operatorname{cosh}(t):
y'(t)=\operatorname{sinh}(t),\qquad y''(t)=\operatorname{cosh}(t).
(Lembrete sobre hiperbólicas: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh}(t)=\operatorname{sinh}(t) e \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh}(t)=\operatorname{cosh}(t). Além disso, a identidade fundamental é \operatorname{cosh}^2(t)-\operatorname{sinh}^2(t)=1.)

Passo 4

Substituir as derivadas na fórmula da curvatura.
O numerador fica
|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)| = |1\cdot\operatorname{cosh}(t) - \operatorname{sinh}(t)\cdot 0| = |\operatorname{cosh}(t)| = \operatorname{cosh}(t),
pois \operatorname{cosh}(t)>0 para todo t.
O denominador fica
\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2} = \bigl(1^2+\operatorname{sinh}^2(t)\bigr)^{3/2}.
Usando a identidade \operatorname{cosh}^2(t)-\operatorname{sinh}^2(t)=1 temos 1+\operatorname{sinh}^2(t)=\operatorname{cosh}^2(t). Portanto
\bigl(1+\operatorname{sinh}^2(t)\bigr)^{3/2} = \bigl(\operatorname{cosh}^2(t)\bigr)^{3/2} = \operatorname{cosh}^3(t).
Agora a curvatura é
\kappa(t)=\frac{\operatorname{cosh}(t)}{\operatorname{cosh}^3(t)}=\frac{1}{\operatorname{cosh}^2(t)}.
Também se pode escrever usando a função secante hiperbólica: \kappa(t)=\operatorname{sech}^2(t).

Passo 5

Interpretação e valores notáveis (ajuda para fixar na prova):
  • Em t=0: \kappa(0)=\dfrac{1}{\operatorname{cosh}^2(0)}=\dfrac{1}{1^2}=1. A curvatura máxima ocorre no ponto mais baixo da catenária.
  • Quando t\to\pm\infty: \operatorname{cosh}(t)\to\infty, logo \kappa(t)\to 0. As “pontas” da catenária ficam cada vez mais planas.
  • Raio de curvatura R(t)=1/\kappa(t)=\operatorname{cosh}^2(t).
Força! Se quiser, praticamos pedacinhos: por exemplo calcular \kappa(1) na prova sem calculadora aproximando \operatorname{cosh}(1) por 1,543\ldots e seguindo a fórmula.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}(t)}

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