Determine todos subgrupos dos grupos \mathbb{Z}_{8}, S^{3}, \mathbb{Z}_{12} e D_{\square}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os subgrupos dos grupos \mathbb{Z}_{8},\; S^{3},\; \mathbb{Z}_{12} e D_{\square}.
Informações que vamos usar (retiradas do enunciado ou convenções usuais):
  • \mathbb{Z}_{8} é o grupo cíclico aditivo de ordem 8 (elementos 0,1,\dots,7 com adição módulo 8).
  • S^{3} aqui será interpretado como o grupo simétrico em 3 letras, isto é, S_{3} (ordem 6).
  • \mathbb{Z}_{12} é o grupo cíclico aditivo de ordem 12.
  • D_{\square} é o grupo diedral do quadrado — o grupo de simetrias do quadrado, com ordem 8. Convenção: denotamos por r a rotação de 90^\circ (logo r^{4}=e) e por s uma reflexão (com s^{2}=e e srs=r^{-1}=r^{3}).
O que precisa ser entregue: a lista completa, para cada um desses grupos, de todos os seus subgrupos.

Passo 2

Primeiro, um lembrete do conceito que vamos usar em tudo:
  • Subgrupo: um subconjunto H de um grupo G que é grupo com a mesma operação. Critério prático: H contém a identidade e, é fechado (produto de dois elementos de H está em H) e contém inversos.
  • Teorema de Lagrange (ferramenta importante): se G é finito e H\le G então |H| divide |G|. Isso limita as ordens possíveis de subgrupos.
Vou aplicar essas ideias caso a caso; sempre que usar uma fórmula ou resultado, explico o que significa.

Passo 3

Caso especial útil: subgrupos de grupos cíclicos.
  • Teorema: se G=\mathbb{Z}_{n} (grupo cíclico de ordem n), então para cada divisor d de n existe exatamente um subgrupo de ordem d; ele é gerado por \tfrac{n}{d} (na notação aditiva, gerador n/d). Em termos concretos, todos os subgrupos são os gerados por \langle k\rangle para divisores adequados de n.
  • Assim, para \mathbb{Z}_n basta listar os divisores de n e escrever os subgrupos correspondentes (com seus elementos explícitos, se quisermos).

Passo 4

Aplicando ao caso \mathbb{Z}_{8}.
  • Ordem do grupo: |\mathbb{Z}_{8}|=8. Divisores de 8 são 1,2,4,8.
  • Portanto existem exatamente um subgrupo de cada uma dessas ordens.
Vou dar os conjuntos explicitamente (usando representação por resíduos módulo 8):
  • Subgrupo de ordem 1: \{0\} (somente identidade).
  • Subgrupo de ordem 2: gerado por 4: \langle 4\rangle=\{0,4\}.
    • Verificação rápida: 4+4\equiv0\pmod{8}, logo elemento de ordem 2.
  • Subgrupo de ordem 4: gerado por 2: \langle 2\rangle=\{0,2,4,6\}.
    • Aqui 2+2=4,\;2+2+2=6,\;2+2+2+2=0.
  • Subgrupo de ordem 8: o próprio grupo \langle 1\rangle=\mathbb{Z}_{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}.
  • Observação didática: embora existam vários geradores do mesmo subgrupo (por ex. \langle 2\rangle=\langle 6\rangle), o subgrupo aparece uma única vez.

Passo 5

Aplicando ao caso \mathbb{Z}_{12}.
  • Ordem do grupo: |\mathbb{Z}_{12}|=12. Divisores de 12: 1,2,3,4,6,12.
  • Para cada divisor existe exatamente um subgrupo com essa ordem. Lista explícita:
    • Ordem 1: \{0\}.
    • Ordem 2: \langle 6\rangle=\{0,6\}.
    • Ordem 3: \langle 4\rangle=\{0,4,8\} (porque 4 tem ordem 3 em \mathbb{Z}_{12}).
    • Ordem 4: \langle 3\rangle=\{0,3,6,9\}.
    • Ordem 6: \langle 2\rangle=\{0,2,4,6,8,10\}.
    • Ordem 12: \langle 1\rangle=\mathbb{Z}_{12}.
  • Observação: para identificar o gerador de um subgrupo de ordem d em \mathbb{Z}_{12}, escolha o elemento 12/d.

Passo 6

Agora S_{3} (grupo das permutações de \{1,2,3\}).
  • Estrutura e elementos: |S_{3}|=6. Elementos: identidade e, três transposições (12), (13), (23) (cada uma de ordem 2) e duas 3-ciclos (123),(132) (cada uma de ordem 3).
  • Pelas restrições de Lagrange, subgrupos possíveis têm ordem 1,2,3,6.
    • Ordem 1: \{e\}.
    • Ordem 6: o próprio S_{3}.
    • Ordem 2: qualquer elemento de ordem 2 gera um subgrupo cíclico de ordem 2. Logo há três subgrupos de ordem 2: \langle(12)\rangle=\{e,(12)\}, \langle(13)\rangle=\{e,(13)\}, \langle(23)\rangle=\{e,(23)\}.
    • Ordem 3: as 3-ciclos geram um único subgrupo de ordem 3: \langle(123)\rangle=\{e,(123),(132)\}. Note que (123) e (132) geram o mesmo subgrupo (são inversas).
  • Não existem outros subgrupos (não há elementos de ordem 6 e Lagrange veta ordens não divisoras).

Passo 7

Finalmente D_{\square} (o diedro do quadrado), normalmente chamado D_{4} (ordem 8).
  • Convenção de elementos: D_{4}=\{e,r,r^{2},r^{3},s,rs,r^{2}s,r^{3}s\} com r^{4}=e,\;s^{2}=e,\;srs=r^{-1}=r^{3}.
  • Possíveis ordens de subgrupos (pela Lagrange): divisores de 8: 1,2,4,8. Vamos listar todos.
Construção e listagem:
  • Ordem 1: \{e\}.
  • Ordem 8: o próprio D_{4}.
  • Subgrupos de ordem 2:
    • \langle r^{2}\rangle=\{e,r^{2}\} (subgrupo de rotações de 180^\circ).
    • Quatro subgrupos gerados por reflexões (cada reflexão tem ordem 2):
      • \langle s\rangle=\{e,s\},
      • \langle rs\rangle=\{e,rs\},
      • \langle r^{2}s\rangle=\{e,r^{2}s\},
      • \langle r^{3}s\rangle=\{e,r^{3}s\}.
  • Subgrupos de ordem 4:
    • Subgrupo cíclico das rotações: \langle r\rangle=\{e,r,r^{2},r^{3}\} (isomorfo a \mathbb{Z}_{4}).
    • Dois subgrupos isomorfos ao grupo de Klein V_{4} (cada um contém r^{2} e duas reflexões):
      • V_{1}=\{e,r^{2},s,r^{2}s\}.
      • V_{2}=\{e,r^{2},rs,r^{3}s\}.
    • Observação: esses V_{4} são fechados porque produto de duas reflexões que têm eixos perpendiculares ou que diferem por r^{2} resulta em r^{2} ou outra reflexão do conjunto; explicitamente eles são subgrupos abelianos de ordem 4.
  • Não há outros subgrupos, pois qualquer subgrupo de ordem 4 deve ser isomorfo a \mathbb{Z}_{4} ou a V_{4}, e já listamos o \mathbb{Z}_{4} das rotações e os dois V_{4} possíveis.

Passo 8

Resumo final: logo temos a listagem completa para cada grupo. Forneço a lista final compacta na seção de resposta.

Resposta

\mathbb{Z}_{8}:\\ \{0\},\\ \langle4\rangle=\{0,4\},\\ \langle2\rangle=\{0,2,4,6\},\\ \langle1\rangle=\mathbb{Z}_{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}\n
S^{3}\\ (S_{3}):\\ \{e\},\\ \langle(12)\rangle=\{e,(12)\},\\ \langle(13)\rangle=\{e,(13)\},\\ \langle(23)\rangle=\{e,(23)\},\\ \langle(123)\rangle=\{e,(123),(132)\},\\ S_{3}\n
\mathbb{Z}_{12}:\\ \{0\},\\ \langle6\rangle=\{0,6\},\\ \langle4\rangle=\{0,4,8\},\\ \langle3\rangle=\{0,3,6,9\},\\ \langle2\rangle=\{0,2,4,6,8,10\},\\ \langle1\rangle=\mathbb{Z}_{12}\n
D_{\square}\\ (D_{4}):\\ \{e\},\\ \langle r^{2}\rangle=\{e,r^{2}\},\\ \langle s\rangle=\{e,s\},\\ \langle rs\rangle=\{e,rs\},\\ \langle r^{2}s\rangle=\{e,r^{2}s\},\\ \langle r^{3}s\rangle=\{e,r^{3}s\},\\ \langle r\rangle=\{e,r,r^{2},r^{3}\},\\ V_{1}=\{e,r^{2},s,r^{2}s\},\\ V_{2}=\{e,r^{2},rs,r^{3}s\},\\ D_{4}

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