Determine todos subgrupos dos grupos
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os subgrupos dos grupos
e
.
Informações que vamos usar (retiradas do enunciado ou convenções usuais):
-
é o grupo cíclico aditivo de ordem (elementos com adição módulo ). -
aqui será interpretado como o grupo simétrico em letras, isto é, (ordem ). -
é o grupo cíclico aditivo de ordem . -
é o grupo diedral do quadrado — o grupo de simetrias do quadrado, com ordem . Convenção: denotamos por a rotação de (logo ) e por uma reflexão (com e ).
O que precisa ser entregue: a lista completa, para cada um desses grupos, de todos os seus subgrupos.
Passo 2
Primeiro, um lembrete do conceito que vamos usar em tudo:
- Subgrupo: um subconjunto
de um grupo que é grupo com a mesma operação. Critério prático: contém a identidade , é fechado (produto de dois elementos de está em ) e contém inversos. - Teorema de Lagrange (ferramenta importante): se
é finito e então divide . Isso limita as ordens possíveis de subgrupos.
Vou aplicar essas ideias caso a caso; sempre que usar uma fórmula ou resultado, explico o que significa.
Passo 3
Caso especial útil: subgrupos de grupos cíclicos.
- Teorema: se
(grupo cíclico de ordem ), então para cada divisor de existe exatamente um subgrupo de ordem ; ele é gerado por (na notação aditiva, gerador ). Em termos concretos, todos os subgrupos são os gerados por para divisores adequados de . - Assim, para
basta listar os divisores de e escrever os subgrupos correspondentes (com seus elementos explícitos, se quisermos).
Passo 4
Aplicando ao caso
.
- Ordem do grupo:
. Divisores de são . - Portanto existem exatamente um subgrupo de cada uma dessas ordens.
Vou dar os conjuntos explicitamente (usando representação por resíduos módulo
):
- Subgrupo de ordem
: (somente identidade). - Subgrupo de ordem
: gerado por : . - Verificação rápida:
, logo elemento de ordem .
- Verificação rápida:
- Subgrupo de ordem
: gerado por : . - Aqui
.
- Aqui
- Subgrupo de ordem
: o próprio grupo . - Observação didática: embora existam vários geradores do mesmo subgrupo (por ex.
), o subgrupo aparece uma única vez.
Passo 5
Aplicando ao caso
.
- Ordem do grupo:
. Divisores de : . - Para cada divisor existe exatamente um subgrupo com essa ordem. Lista explícita:
- Ordem
: . - Ordem
: . - Ordem
: (porque tem ordem em ). - Ordem
: . - Ordem
: . - Ordem
: .
- Ordem
- Observação: para identificar o gerador de um subgrupo de ordem
em , escolha o elemento .
Passo 6
Agora
(grupo das permutações de
).
- Estrutura e elementos:
. Elementos: identidade , três transposições (cada uma de ordem ) e duas 3-ciclos (cada uma de ordem ). - Pelas restrições de Lagrange, subgrupos possíveis têm ordem
. - Ordem
: . - Ordem
: o próprio . - Ordem
: qualquer elemento de ordem gera um subgrupo cíclico de ordem . Logo há três subgrupos de ordem : , , . - Ordem
: as 3-ciclos geram um único subgrupo de ordem : . Note que e geram o mesmo subgrupo (são inversas).
- Ordem
- Não existem outros subgrupos (não há elementos de ordem
e Lagrange veta ordens não divisoras).
Passo 7
Finalmente
(o diedro do quadrado), normalmente chamado
(ordem
).
- Convenção de elementos:
com . - Possíveis ordens de subgrupos (pela Lagrange): divisores de
: . Vamos listar todos.
Construção e listagem:
- Ordem
: . - Ordem
: o próprio . - Subgrupos de ordem
: -
(subgrupo de rotações de ). - Quatro subgrupos gerados por reflexões (cada reflexão tem ordem
): -
, -
, -
, -
.
-
-
- Subgrupos de ordem
: - Subgrupo cíclico das rotações:
(isomorfo a ). - Dois subgrupos isomorfos ao grupo de Klein
(cada um contém e duas reflexões): -
. -
.
-
- Observação: esses
são fechados porque produto de duas reflexões que têm eixos perpendiculares ou que diferem por resulta em ou outra reflexão do conjunto; explicitamente eles são subgrupos abelianos de ordem .
- Subgrupo cíclico das rotações:
- Não há outros subgrupos, pois qualquer subgrupo de ordem
deve ser isomorfo a ou a , e já listamos o das rotações e os dois possíveis.
Passo 8
Resumo final: logo temos a listagem completa para cada grupo. Forneço a lista final compacta na seção de resposta.