Seja G=\left\{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} ; a \neq 0\right\}. Defina a seguinte operação em G :
(a, b) \cdot(c, d)=(a c, a d+b)
a) Mostre que ( G, \cdot ) é um grupo não abeliano.
b) Quem é o elemento neutro de G ?
c) Quem é o inverso de (a, b) ?
d) Quem é o centro de G ?
e) Seja K=\{(1, b) ; b \in \mathbb{R}\}. Mostre que K é um subgrupo de G.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto G=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2; a\neq 0\} e a operação binária
(a,b)\cdot(c,d)=(ac,\;ad+b).
As perguntas são:
  • (a) Mostrar que (G,\cdot) é um grupo e que não é abeliano.
  • (b) Determinar o elemento neutro de G.
  • (c) Determinar o inverso de um elemento arbitrário (a,b)\in G.
  • (d) Determinar o centro de G (os elementos que comutam com todos os outros).
  • (e) Mostrar que K=\{(1,b); b\in\mathbb{R}\} é subgrupo de G.
Informações relevantes dadas:
  • Os pares são números reais com primeira coordenada não nula ( a\neq 0).
  • A operação multiplica as primeiras coordenadas e combina as segundas como ad+b.
    Não se pede nada além disso; vamos provar cada propriedade passo a passo.

Passo 2

Lembrete rápido (conceitos que usarei):
  • Para mostrar que (G,\cdot) é um grupo, preciso verificar os quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para todo elemento.
  • Para mostrar não comutatividade (não abeliano) basta encontrar um par de elementos que não comutam.
  • O centro Z(G) é Z(G)=\{g\in G : gx=xg\\ \forall x\in G\}.
    Vou começar pelas propriedades de grupo.

Passo 3

Precisamos checar que para quaisquer (a,b),(c,d)\in G tem-se (a,b)\cdot(c,d)\in G.
Calculamos a operação:
(a,b)\cdot(c,d)=(ac,\;ad+b).
  • A segunda coordenada ad+b é um número real, logo pertence a \mathbb{R}.
  • A primeira coordenada é ac. Como a\neq 0 e c\neq 0, o produto ac\neq 0 (produto de reais não nulos é não nulo). Assim a primeira coordenada satisfaz a condição do conjunto.
    Portanto (ac,ad+b)\in G e a operação é fechada em G.

Passo 4

Preciso mostrar que para todos (a,b),(c,d),(e,f)\in G vale
\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f)=(a,b)\cdot\bigl((c,d)\cdot(e,f)\bigr).
Calculo o lado esquerdo:
(a,b)\cdot(c,d)=(ac,\;ad+b).
Então
\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f)=(ac,\;ad+b)\cdot(e,f).
Aplicando a definição:
(ac)\cdot e = a c e, \qquad (ac)\cdot f + (ad+b) = a c f + a d + b.
Logo o lado esquerdo é
\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f)=(ace,\;acf+ad+b).
Agora o lado direito: primeiro
(c,d)\cdot(e,f)=(ce,\;cf+d).
Então
(a,b)\cdot\bigl((c,d)\cdot(e,f)\bigr)=(a,b)\cdot(ce,\;cf+d).
Aplicando a definição:
a\cdot(ce)=ace, \qquad a\cdot(cf+d)+b=acf+ad+b.
Logo o lado direito é
(a,b)\cdot\bigl((c,d)\cdot(e,f)\bigr)=(ace,\;acf+ad+b).
Os dois lados coincidem, portanto a operação é associativa.

Passo 5

Procuramos um elemento e_G=(u,v)\in G tal que para todo (a,b)\in G
(u,v)\cdot(a,b)=(a,b) \qquad\text{e}\qquad (a,b)\cdot(u,v)=(a,b).
Usando a definição:
(u,v)\cdot(a,b)=(u a,\;u b + v) \stackrel{!}{=}(a,b).
Dessa igualdade obtemos duas equações:
u a = a,\qquad u b + v = b.
Como isso deve valer para todo a\neq 0 e todo b\in\mathbb{R}, da primeira equação segue u=1. Substituindo u=1 na segunda:
1\cdot b + v = b \implies v=0.
Verificamos também o outro lado:
(a,b)\cdot(1,0)=(a\cdot 1,\;a\cdot 0 + b)=(a,b).
Portanto o elemento neutro é (1,0)\in G.

Passo 6

Para dado (a,b)\in G (com a\neq 0), procuramos (x,y)\in G tal que
(a,b)\cdot(x,y)=(1,0)\qquad\text{e}\qquad(x,y)\cdot(a,b)=(1,0).
Começando por (a,b)\cdot(x,y)=(ax,\;ay+b)=(1,0). Isso dá:
ax=1,\qquad ay+b=0.
Da primeira equação x=\dfrac{1}{a}. Substituindo na segunda:
a\cdot \frac{1}{a} + b = 0 \implies 1 + b = 0\quad\text{(essa manipulação está errada: atenção!)}.çãáçã
Corrigindo: a segunda é ay+b=0, com x já encontrado; então
ay+b=0 \implies y=-\dfrac{b}{a}.
(Observe que a equação anterior era ay+b=0, não ax+b.)
Assim um candidato inverso é \left(\dfrac{1}{a},-\dfrac{b}{a}\right). Verifico o produto na outra ordem:
\left(\dfrac{1}{a},-\dfrac{b}{a}\right)\cdot(a,b)=\left(\dfrac{1}{a}\cdot a,\; \dfrac{1}{a}\cdot b -\dfrac{b}{a}\right)=(1,\; \dfrac{b}{a}-\dfrac{b}{a})=(1,0).
Portanto o inverso de (a,b) é
\left(a,b\right)^{-1}=\left(\dfrac{1}{a},\; -\dfrac{b}{a}\right).
Note que a primeira coordenada do inverso é não nula (pois 1/a\neq 0), então o inverso pertence a G.

Passo 7

Juntando os resultados:
  • Fechamento (Passo 3),
  • Associatividade (Passo 4),
  • Elemento neutro (1,0) (Passo 5),
  • Inversos dados por \left(\dfrac{1}{a},-\dfrac{b}{a}\right) (Passo 6),
    conclui-se que (G,\cdot) é um grupo.

Passo 8

Para mostrar que não é abeliano, basta dar um exemplo de dois elementos que não comutam.
Escolho (a,b)=(2,1) e (c,d)=(3,0), ambos em G porque as primeiras coordenadas são não nulas. Calculo:
(2,1)\cdot(3,0)=(2\cdot 3,\;2\cdot 0+1)=(6,1).
E
(3,0)\cdot(2,1)=(3\cdot 2,\;3\cdot 1+0)=(6,3).
Como (6,1)\neq(6,3), temos (2,1)\cdot(3,0)\neq(3,0)\cdot(2,1). Logo a operação não é comutativa e o grupo não é abeliano.

Passo 9

Queremos todos os (a,b)\in G tais que (a,b)\cdot(c,d)=(c,d)\cdot(a,b) para todo (c,d)\in G.
Escrevemos a condição geral:
(a,b)\cdot(c,d)=(ac,\;ad+b), \qquad (c,d)\cdot(a,b)=(ca,\;cb+d).
As primeiras coordenadas coincidem automaticamente porque ac=ca. Igualando as segundas coordenadas exigimos para todo (c,d)\in G:
ad+b = cb + d.
Rearranjando:
ad - d = cb - b \quad\Longrightarrow\quad (a-1)d = b(c-1).
Essa igualdade deve valer para todo c\neq 0 e todo d\in\mathbb{R}.
  • Se a\neq 1, o lado esquerdo (a-1)d pode assumir quaisquer valores variando d, enquanto o lado direito b(c-1) varia ao variar c. Para a igualdade valer para todos d e todos c seria impossível. Formalmente, tomemos c=1. Então a igualdade dá (a-1)d = b(1-1)=0, então (a-1)d=0 para todo d, o que obriga a=1. Portanto necessariamente a=1.
  • Com a=1, a condição fica
0\cdot d = b(c-1)\implies 0 = b(c-1)\quad\text{para todo }c\neq 0.
Escolhendo c\neq 1 (ex.: c=2), temos b(c-1)\neq 0 a menos que b=0. Assim devemos ter b=0.
Portanto o único elemento que comuta com todos os outros é (1,0). Assim
Z(G)=\{(1,0)\}.

Passo 10

Usarei o critério de subgrupo: um subconjunto não vazio H de um grupo G é subgrupo se para quaisquer x,y\in H tem-se x\cdot y^{-1}\in H. Vou fazer uma verificação direta mais elementar (fechamento e inversos).
  1. Não vazio e contém o neutro: (1,0)\in K (tomando b=0), e (1,0) é o neutro de G.
  2. Fechamento: tomemos (1,b),(1,b')\in K. Então
(1,b)\cdot(1,b')=(1\cdot 1,\;1\cdot b' + b)=(1,\;b'+b),
que está em K porque soma de reais é real.
  1. Inversos: para (1,b)\in K, pelo Passo 6 o inverso é
(1,b)^{-1}=\left(\dfrac{1}{1},\; -\dfrac{b}{1}\right)=(1,-b),
que pertence a K.
Como K contém o neutro, é fechada e contém inversos, conclui-se que K é subgrupo de G.

Resposta

(a) (G,\cdot) é um grupo não abeliano.
(b) O elemento neutro é (1,0).
(c) O inverso de (a,b)\in G é \displaystyle\left(\dfrac{1}{a},-\dfrac{b}{a}\right).
(d) O centro é Z(G)=\{(1,0)\}.
(e) K=\{(1,b); b\in\mathbb{R}\} é subgrupo de G.

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