Seja
. Defina a seguinte operação em
:
a) Mostre que (
) é um grupo não abeliano.
b) Quem é o elemento neutro de
?
c) Quem é o inverso de
?
d) Quem é o centro de
?
e) Seja
. Mostre que
é um subgrupo de
.
b) Quem é o elemento neutro de
c) Quem é o inverso de
d) Quem é o centro de
e) Seja
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e a operação binária
As perguntas são:
- (a) Mostrar que
é um grupo e que não é abeliano. - (b) Determinar o elemento neutro de
. - (c) Determinar o inverso de um elemento arbitrário
. - (d) Determinar o centro de
(os elementos que comutam com todos os outros). - (e) Mostrar que
é subgrupo de .
Informações relevantes dadas:
- Os pares são números reais com primeira coordenada não nula (
). - A operação multiplica as primeiras coordenadas e combina as segundas como
.
Não se pede nada além disso; vamos provar cada propriedade passo a passo.
Passo 2
Lembrete rápido (conceitos que usarei):
- Para mostrar que
é um grupo, preciso verificar os quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para todo elemento. - Para mostrar não comutatividade (não abeliano) basta encontrar um par de elementos que não comutam.
- O centro
é .
Vou começar pelas propriedades de grupo.
Passo 3
Precisamos checar que para quaisquer
tem-se
.
Calculamos a operação:
- A segunda coordenada
é um número real, logo pertence a . - A primeira coordenada é
. Como e , o produto (produto de reais não nulos é não nulo). Assim a primeira coordenada satisfaz a condição do conjunto.
Portantoe a operação é fechada em .
Passo 4
Preciso mostrar que para todos
vale
Calculo o lado esquerdo:
Então
Aplicando a definição:
Logo o lado esquerdo é
Agora o lado direito: primeiro
Então
Aplicando a definição:
Logo o lado direito é
Os dois lados coincidem, portanto a operação é associativa.
Passo 5
Procuramos um elemento
tal que para todo
Usando a definição:
Dessa igualdade obtemos duas equações:
Como isso deve valer para todo
e todo
, da primeira equação segue
. Substituindo
na segunda:
Verificamos também o outro lado:
Portanto o elemento neutro é
.
Passo 6
Para dado
(com
), procuramos
tal que
Começando por
. Isso dá:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Corrigindo: a segunda é
, com
já encontrado; então
(Observe que a equação anterior era
, não
.)
Assim um candidato inverso é
. Verifico o produto na outra ordem:
Portanto o inverso de
é
Note que a primeira coordenada do inverso é não nula (pois
), então o inverso pertence a
.
Passo 7
Juntando os resultados:
- Fechamento (Passo 3),
- Associatividade (Passo 4),
- Elemento neutro
(Passo 5), - Inversos dados por
(Passo 6),
conclui-se queé um grupo.
Passo 8
Para mostrar que não é abeliano, basta dar um exemplo de dois elementos que não comutam.
Escolho
e
, ambos em
porque as primeiras coordenadas são não nulas. Calculo:
E
Como
, temos
. Logo a operação não é comutativa e o grupo não é abeliano.
Passo 9
Queremos todos os
tais que
para todo
.
Escrevemos a condição geral:
As primeiras coordenadas coincidem automaticamente porque
. Igualando as segundas coordenadas exigimos para todo
:
Rearranjando:
Essa igualdade deve valer para todo
e todo
.
-
Se
, o lado esquerdo pode assumir quaisquer valores variando , enquanto o lado direito varia ao variar . Para a igualdade valer para todos e todos seria impossível. Formalmente, tomemos . Então a igualdade dá , então para todo , o que obriga . Portanto necessariamente . -
Com
, a condição fica
Escolhendo
(ex.:
), temos
a menos que
. Assim devemos ter
.
Portanto o único elemento que comuta com todos os outros é
. Assim
Passo 10
Usarei o critério de subgrupo: um subconjunto não vazio
de um grupo
é subgrupo se para quaisquer
tem-se
. Vou fazer uma verificação direta mais elementar (fechamento e inversos).
-
Não vazio e contém o neutro:
(tomando ), e é o neutro de . -
Fechamento: tomemos
. Então
que está em
porque soma de reais é real.
- Inversos: para
, pelo Passo 6 o inverso é
que pertence a
.
Como
contém o neutro, é fechada e contém inversos, conclui-se que
é subgrupo de
.
Resposta
(a)
é um grupo não abeliano.
(b) O elemento neutro é .
(c) O inverso de é
.
(d) O centro é .
(e) é subgrupo de
.
(b) O elemento neutro é
(c) O inverso de
(d) O centro é
(e)