Obtenha a derivada das seguintes funções:
\begin{aligned} & f(x)=c \cdot x^{n} \quad\left(c \in \mathbb{R} \text { e } n \in \mathbb{N}^{*}\right) \\\ & g(x)=\operatorname{tg} x \\\ & h(x)=\operatorname{sec} x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de três funções:
f(x)=c· x^{n} com c∈ℝ e n∈ℕ*, g(x)=tg x e h(x)=sec x.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas básicas: aplicaremos a regra do poder para f, a regra do quociente (ou tabela de derivadas) para g, e derivação de função recíproca para h.

Passo 2

Para f(x)=c· x^{n} aplicamos a regra do poder e o fato de c ser constante. A regra do poder diz que
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Multiplicando por c, obtemos
f'(x)=c\cdot n\,x^{n-1}.

Passo 3

Para g(x)= \tan x podemos usar a definição \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} e a regra do quociente, mas como é uma derivada padrão, sabemos que
\frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Para h(x)= \operatorname{sec} x lembramos que \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}. Usando derivada de recíproco ou tabela, chega-se a
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x.

Resposta

f'(x)=c\,n\,x^{n-1} g'(x)=\operatorname{sec}^{2}x h'(x)=\operatorname{sec} x\tan x

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