Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\cos x no ponto \left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=\cos x no ponto \bigl(\tfrac{\pi}{3},\tfrac12\bigr). Para isso, vamos:
  1. calcular a derivada de f,
  2. avaliar essa derivada em x_0=\tfrac{\pi}{3} para obter a inclinação m,
  3. usar a forma ponto-inclinação da reta para obter a equação.

Passo 2

Derivando f(x) obtemos
f'(x) = -\sin x.
Avaliar em x_0=\tfrac{\pi}{3} dá a inclinação
m = f'\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = -\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = -\frac{\sqrt3}{2}.

Passo 3

Usando a forma ponto-inclinação
y - y_0 = m\,(x - x_0),
com x_0=\tfrac{\pi}{3}, y_0=\tfrac12 e m=-\tfrac{\sqrt3}{2}, vem
y - \frac12 = -\frac{\sqrt3}{2}\Bigl(x - \frac{\pi}{3}\Bigr).
Distribuindo e isolando y, obtemos a forma explícita:
y = -\frac{\sqrt3}{2}\,x + \frac{\pi\sqrt3}{6} + \frac12.

Resposta

y = -\frac{\sqrt3}{2}\,x + \frac{\pi\sqrt3}{6} + \frac12.

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