Obtenha a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x^{2}-3 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x^{2}-3x+1}
e pede f'(x). Vamos usar as regras de potência e a regra da cadeia, já que cada termo é uma função composta do tipo (\cdot)^{n}.

Passo 2

Para \sqrt{x+1}=(x+1)^{\tfrac12}, aplicamos a regra da potência:
\frac{d}{dx}\,(x+1)^{\tfrac12} =\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac12}\cdot\frac{d}{dx}(x+1) =\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac12}.

Passo 3

Para \sqrt[3]{x^{2}-3x+1}=(x^{2}-3x+1)^{\tfrac13}, usamos potência e cadeia:
\frac{d}{dx}\,(x^{2}-3x+1)^{\tfrac13} =\tfrac13\,(x^{2}-3x+1)^{-\tfrac23}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-3x+1) =\tfrac13\,(x^{2}-3x+1)^{-\tfrac23}\,(2x-3).

Passo 4

Somando as derivadas dos dois termos, obtemos
f'(x) =\tfrac12\,(x+1)^{-\tfrac12} +\tfrac13\,(x^{2}-3x+1)^{-\tfrac23}\,(2x-3).

Resposta

f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x+1}} +\frac{2x-3}{3\,(x^{2}-3x+1)^{\tfrac{2}{3}}}.

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