Obtenha a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(6 x^{2}+2 x+1\right)^{\frac{3}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x) = \bigl(6x^2 + 2x + 1\bigr)^{\frac32}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e a regra do poder (power rule).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = 6x^2 + 2x + 1.
Calculando a derivada de u, temos
u'(x) = 12x + 2.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f é
f'(x) = \frac32\,u(x)^{\frac32 - 1}\,\cdot\,u'(x) = \frac32\,u(x)^{\frac12}\,(12x+2).

Passo 4

Voltando a u(x) e simplificando o fator numérico:
f'(x) = \frac32\,(6x^2+2x+1)^{\frac12}\,(12x+2) = (18x+3)\,(6x^2+2x+1)^{\frac12}.

Resposta

f'(x) = (18x+3)\,(6x^2 + 2x + 1)^{\frac12}.

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