Obtenha a derivada das seguintes funções.
Passo 1
Vamos encontrar a derivada de y = -x(x - ln x). O conteúdo aqui é derivada de produto, derivada de potência e derivada de ln x. Vamos usar também a propriedade de simplificar a expressão antes de derivar.
Passo 2
Primeiro simplificamos y para facilitar a derivada. Reescrevendo em um bloco:
Passo 3
Agora derivamos cada termo separadamente. Para -x^2 usamos a regra de potência: derivada de x^n é n x^{n-1}, então d(-x^2)/dx = -2x. Para x,ln x aplicamos a regra do produto: se u=x e v=\ln x, então d(uv)/dx = u’v + uv’. Aqui u’=1 e v’=1/x, logo d(x,\ln x)/dx = 1\cdot\ln x + x\cdot(1/x) = \ln x + 1.
Passo 4
Por fim, somamos as derivadas:
Passo 5
Pronto! Essa é a expressão simplificada da derivada.
Resposta
y’ = ln x + 1 - 2x