Obtenha a derivada das seguintes funções.
y=-x(x-ln x)

Passo 1

Vamos encontrar a derivada de y = -x(x - ln x). O conteúdo aqui é derivada de produto, derivada de potência e derivada de ln x. Vamos usar também a propriedade de simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Primeiro simplificamos y para facilitar a derivada. Reescrevendo em um bloco:
y = -x(x - ln x) = -x^2 + x,ln x

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente. Para -x^2 usamos a regra de potência: derivada de x^n é n x^{n-1}, então d(-x^2)/dx = -2x. Para x,ln x aplicamos a regra do produto: se u=x e v=\ln x, então d(uv)/dx = u’v + uv’. Aqui u’=1 e v’=1/x, logo d(x,\ln x)/dx = 1\cdot\ln x + x\cdot(1/x) = \ln x + 1.

Passo 4

Por fim, somamos as derivadas:
y' = -2x + (ln x + 1) = ln x + 1 - 2x

Passo 5

Pronto! Essa é a expressão simplificada da derivada.

Resposta

y’ = ln x + 1 - 2x

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