Nos items abaixo, calcule as integrais integralgamma f(x, y) d s, integralgamma f(x, y) d x, integralgamma f(x, y) d y, onde gamma está definida parametricamente como indicado.
(b) f(x, y)=x y^2 / 5 ; x(t)=t / 2 ; y(t)=t^5 / 2 ; 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais de linha integralgamma f(x,y),ds, integralgamma f(x,y),dx e integralgamma f(x,y),dy para f(x,y)=x,y^2/5 ao longo da curva parametrizada por x(t)=t/2, y(t)=t^5/2, com 0<= t<=1. O conteúdo é integral de linha escalar (com ds) e integrais de linha vetoriais em relação a dx e dy.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as quantidades em função de t. Temos:
x'(t)=12, y'(t)=52,t^3/2
A função em t é
fl(x(t),y(t)r)=l(t/2r)l(t^5/2r)^2/5=t2,t^1=t^22
O elemento de comprimento de arco é
ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt=12raiz1+25,t^3,dt

Passo 3

Para integralgamma f,ds substituímos:
integral0^1 f,ds=integral0^1 t^22cdot12raiz1+25t^3,dt=14integral0^1 t^2raiz1+25t^3,dt
Fazendo a troca u=1+25t^3, du=75t^2,dt, o integral vira
14cdot175integralu=1^26u^1/2,du=1300cdot23l[u^3/2r]1^26=1450l(26^3/2-1r)

Passo 4

Para integralgamma f,dx usamos dx=x'(t),dt=tfrac12dt:
integral0^1 f,dx=integral0^1 t^22cdot12,dt=14integral0^1 t^2,dt=14cdot13=112

Passo 5

Para integralgamma f,dy usamos dy=y'(t),dt=tfrac52t^3/2dt:
integral0^1 f,dy=integral0^1 t^22cdot52t^3/2,dt=54integral0^1 t^7/2,dt=54cdot29=518

Resposta

integralgamma f,ds=1450l(26^3/2-1r), integralgamma f,dx=112, integralgamma f,dy=518

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