Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de
para as equaçÔes diferenciais a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução em série de potências em torno de
para a equação
. O conteúdo aqui é metodologia de séries de potências: vamos assumir
, obter a recorrência dos coeficientes e montar as séries independentes (uma par e outra ímpar).
Passo 2
Assumimos a forma geral
Passo 3
Substituímos em
e reindexamos para ter potências
iguais:
Passo 4
Agrupando coeficientes de
(observe que o segundo somatório não tem
) obtemos:
Passo 5
Essa recorrência liga coeficientes de mesma paridade. Vamos gerar as duas séries independentes:
Para os termos pares, tomamos livre e
:
Para os termos pares, tomamos
Passo 6
Daí a série par fica terminando em grau 4:
Passo 7
Para os termos ímpares, tomamos
livre e
:
Passo 8
Isso gera a série ímpar infinita:
Passo 9
A solução geral é combinação linear das duas séries independentes.