Nos itens a seguir, encontre uma solução em sĂ©rie de potĂȘncias em torno de x=0 para as equaçÔes diferenciais a seguir.
y^prime prime-x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução em série de potências em torno de x=0 para a equação y''-xy'+4y=0. O conteúdo aqui é metodologia de séries de potências: vamos assumir y=sumn=0^infty an x^n, obter a recorrência dos coeficientes e montar as séries independentes (uma par e outra ímpar).

Passo 2

Assumimos a forma geral
y=sumn=0^infty an x^n, y'=sumn=1^infty n an x^n-1, y''=sumn=2^infty n(n-1)an x^n-2

Passo 3

Substituímos em y''-xy'+4y=0 e reindexamos para ter potências x^k iguais:
sumk=0^infty (k+2)(k+1)ak+2x^k - sumk=1^infty k ak x^k +4sumk=0^infty ak x^k =0

Passo 4

Agrupando coeficientes de x^k (observe que o segundo somatório não tem k=0) obtemos:
(k+2)(k+1)ak+2 + (4-k)ak =0 Longrightarrow ak+2=k-4(k+2)(k+1),ak

Passo 5

Essa recorrência liga coeficientes de mesma paridade. Vamos gerar as duas séries independentes:
Para os termos pares, tomamos a0 livre e a1=0:
a2=0-42cdot1a0=-2a0, a4=2-44cdot3a2=-212(-2a0)=tfrac13a0, a6=4-46cdot5a4=0,dots

Passo 6

Daí a série par fica terminando em grau 4:
y1(x)=1-2x^2+tfrac13x^4

Passo 7

Para os termos ímpares, tomamos a1 livre e a0=0:
a3=1-43cdot2a1=-tfrac12a1, a5=3-45cdot4a3=tfrac140a1, a7=5-47cdot6a5=tfrac11680a1,dots

Passo 8

Isso gera a série ímpar infinita:
y2(x)=x-tfrac12x^3+tfrac140x^5+tfrac11680x^7+cdots

Passo 9

A solução geral é combinação linear das duas séries independentes.

Resposta

y(x)=C1l(1-2x^2+tfrac13x^4r)+C2l(x-tfrac12x^3+tfrac140x^5+tfrac11680x^7+cdotsr)

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