Obtenha a derivada de terceira ordem das seguintes funções:
f(x)=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de terceira ordem da função f(x)=\ln(x). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas sucessivas, usando que
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}
e a regra de derivação de potências, isto é,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando \frac{d}{dx}\ln(x)=1/x:
f'(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}.

Passo 3

Para obter a segunda derivada, derivamos f'(x)=x^{-1} aplicando a regra de potência com n=-1:
f''(x)=\frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Finalmente, para a terceira derivada, derivamos f''(x)=-x^{-2} usando a regra de potência com n=-2:
f'''(x)=-2\cdot\bigl(-1\bigr)\,x^{-3}=2\,x^{-3}=\frac{2}{x^{3}}.

Resposta

f'''(x)=\frac{2}{x^{3}}.

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