Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e lembrar como derivar em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que
é uma função de duas variáveis,
e
. Para achar as derivadas parciais, vamos derivar essa função separadamente em relação a
e em relação a
, tratando a outra variável como constante em cada caso.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Agora, vamos simplificar o numerador.
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do quociente. Desta vez, tratamos
como constante.
Passo 8
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Passo 9
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador.
Passo 10
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial fica:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e