Obtenha a distribuição de velocidades no interior da camada de fluido entre duas placas paralelas verticais infinitas separadas por uma distância \delta, que se movem em sentidos opostos com velocidades V_A e V_B.
Considere regime laminar, fluido de densidade e viscosidade constantes, despreze gradientes de pressão e resolva a equação simplificada de Navier-Stokes para este problema, mostrando apenas as condições de contorno.

Passo 1

Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda). O problema solicita que se obtenha a distribuição de velocidades no interior da camada de fluido entre duas placas paralelas verticais infinitas separadas por uma distância \delta. As placas movem-se em sentidos opostos com velocidades V_A e V_B. Além disso o enunciado diz para considerar:
  • regime laminar;
  • fluido com densidade e viscosidade constantes;
  • desprezar gradientes de pressão;
  • resolver a equação simplificada de Navier–Stokes para este problema;
  • mostrar apenas as condições de contorno.
As informações relevantes que temos são, portanto:
  • distância entre as placas: \delta;
  • velocidade da placa em y=0: V_A (escolha de posição que usaremos, ver passo seguinte);
  • velocidade da placa em y=\delta: V_B;
  • fluxo estacionário e unidirecional (implícito em “resolver para este problema”);
  • sem gradiente de pressão na direção do escoamento.
O que o enunciado pede explicitamente:
  • encontrar a função u(y) que dá a velocidade do fluido no interior da camada (perfil de velocidade);
  • indicar as condições de contorno usadas.

Passo 2

Escolher coordenadas e assumir a forma do escoamento (explicando por que). Vamos tomar:
  • eixo x paralelo às placas e ao movimento delas (direção do escoamento);
  • eixo y perpendicular às placas, com uma placa em y=0 e a outra em y=\delta;
  • a velocidade do fluido tem apenas componente na direção x e depende só de y: \vec{u} = u(y)\,\hat{\imath}.
    Explicação das hipóteses e por que elas são válidas:
  • “Placas infinitas” e regime estacionário implicam que não há variação em x nem em z: \partial/\partial x=\partial/\partial z=0.
  • Escoamento unidirecional e sem permeação entre placas significa v=w=0.
  • Laminar e viscosidade constante justificam o uso da forma clássica da tensão viscosas linear (fluido newtoniano).
  • Desprezar gradiente de pressão significa \partial p/\partial x=0 (não há força de pressão que impulsione o escoamento).
    Com essas hipóteses, a equação de Navier–Stokes para a componente x (momentum) vale, em forma geral:
\rho\!\left(\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}+ w\frac{\partial u}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu\!\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right) + \rho g_x.
Agora aplicamos as hipóteses uma a uma:
  • escoamento estacionário \Rightarrow \partial u/\partial t = 0;
  • unidirecional com u=u(y) e v=w=0 \Rightarrow todos os termos convectivos u\partial u/\partial x,\;v\partial u/\partial y,\;w\partial u/\partial z são nulos;
  • sem gradiente de pressão \Rightarrow \partial p/\partial x = 0;
  • sem força de corpo na direção x (ou desprezível) \Rightarrow g_x = 0;
  • variação em x e z nula \Rightarrow \partial^2 u/\partial x^2=\partial^2 u/\partial z^2=0.
Com tudo isso, a equação reduz-se a:
0 = \mu\,\frac{d^2 u}{dy^2}.
Explicação do que isso significa: o equilíbrio na direção x é apenas entre viscosidade (termo de difusão de momento) e nada mais; como não há fonte de movimento interno (pressão ou inércia), a segunda derivada da velocidade em y deve ser nula.

Passo 3

Resolver a equação diferencial resultante passo a passo. Temos a equação ordinária:
\mu\,\frac{d^2 u}{dy^2}=0.
Dividindo por \mu (não nula), obtemos
\frac{d^2 u}{dy^2}=0.
Integramos uma vez em relação a y:
\frac{du}{dy}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (com unidade de velocidade por unidade de comprimento). Integramos novamente:
u(y)=C_1 y + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração (com unidade de velocidade). Essa é a forma geral da solução: um perfil de velocidade linear em y. Vou agora determinar C_1 e C_2 pelas condições de contorno.

Passo 4

Apresentar e aplicar as condições de contorno (no enunciado pediu que elas fossem mostradas). A condição física importante é a condição de não deslizamento (no-slip) nas superfícies sólidas: a velocidade do fluido coincide com a velocidade da placa no ponto de contato. Adotando as posições das placas conforme o passo 2, as condições são:
u(0)=V_A,
u(\delta)=V_B.
Agora impondo essas condições na solução u(y)=C_1 y + C_2:
  • de u(0)=V_A obtemos C_2=V_A;
  • de u(\delta)=V_B obtemos C_1\delta + C_2 = V_B, portanto
C_1 = \frac{V_B - V_A}{\delta}.
Substituindo C_1 e C_2 na expressão geral, obtemos:
u(y)=V_A + \frac{V_B - V_A}{\delta}\,y.

Passo 5

Interpretação física e comentários didáticos (para você entender e lembrar na prova).
  • O perfil de velocidade é linear: a velocidade varia linearmente de V_A em y=0 até V_B em y=\delta. Isso é o escoamento clássico de Couette plano.
  • A taxa de cisalhamento (gradiente de velocidade) é constante:
\frac{du}{dy}=\frac{V_B - V_A}{\delta}.
  • A tensão de cisalhamento no fluido é dada por \tau_{xy}=\mu\,du/dy, portanto é constante e vale
\tau_{xy}=\mu\,\frac{V_B - V_A}{\delta}.
  • Casos particulares úteis para a prova:
    • se V_A=0 e V_B=V, então u(y)=\dfrac{V}{\delta}y;
    • se V_A=-V_B (placas movem-se em sentidos opostos com mesmas magnitudes), então u(y)=V_A + \dfrac{2V_A}{\delta}y (substituindo V_B=-V_A) — verifique sinais com cuidado.

Resposta

u(y)=V_A + \frac{V_B - V_A}{\delta}\,y
Condições de contorno:
u(0)=V_A,\qquad u(\delta)=V_B.

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