Obtenha a distribuição de velocidades no interior da camada de fluido entre duas placas paralelas verticais infinitas separadas por uma distância
, que se movem em sentidos opostos com velocidades V_A e V_B.
Considere regime laminar, fluido de densidade e viscosidade constantes, despreze gradientes de pressão e resolva a equação simplificada de Navier-Stokes para este problema, mostrando apenas as condições de contorno.
Passo 1
Vou explicar claramente o que o enunciado pede e quais dados temos (sem resolver ainda). O problema solicita que se obtenha a distribuição de velocidades no interior da camada de fluido entre duas placas paralelas verticais infinitas separadas por uma distância
. As placas movem-se em sentidos opostos com velocidades
e
. Além disso o enunciado diz para considerar:
- regime laminar;
- fluido com densidade e viscosidade constantes;
- desprezar gradientes de pressão;
- resolver a equação simplificada de Navier–Stokes para este problema;
- mostrar apenas as condições de contorno.
As informações relevantes que temos são, portanto:
- distância entre as placas:
; - velocidade da placa em
: (escolha de posição que usaremos, ver passo seguinte); - velocidade da placa em
: ; - fluxo estacionário e unidirecional (implícito em “resolver para este problema”);
- sem gradiente de pressão na direção do escoamento.
O que o enunciado pede explicitamente:
- encontrar a função
que dá a velocidade do fluido no interior da camada (perfil de velocidade); - indicar as condições de contorno usadas.
Passo 2
Escolher coordenadas e assumir a forma do escoamento (explicando por que). Vamos tomar:
- eixo
paralelo às placas e ao movimento delas (direção do escoamento); - eixo
perpendicular às placas, com uma placa em e a outra em ; - a velocidade do fluido tem apenas componente na direção
e depende só de : .
Explicação das hipóteses e por que elas são válidas: - “Placas infinitas” e regime estacionário implicam que não há variação em
nem em : . - Escoamento unidirecional e sem permeação entre placas significa
. - Laminar e viscosidade constante justificam o uso da forma clássica da tensão viscosas linear (fluido newtoniano).
- Desprezar gradiente de pressão significa
(não há força de pressão que impulsione o escoamento).
Com essas hipóteses, a equação de Navier–Stokes para a componente(momentum) vale, em forma geral:
Agora aplicamos as hipóteses uma a uma:
- escoamento estacionário
; - unidirecional com
e todos os termos convectivos são nulos; - sem gradiente de pressão
; - sem força de corpo na direção
(ou desprezível) ; - variação em
e nula .
Com tudo isso, a equação reduz-se a:
Explicação do que isso significa: o equilíbrio na direção
é apenas entre viscosidade (termo de difusão de momento) e nada mais; como não há fonte de movimento interno (pressão ou inércia), a segunda derivada da velocidade em
deve ser nula.
Passo 3
Resolver a equação diferencial resultante passo a passo. Temos a equação ordinária:
Dividindo por
(não nula), obtemos
Integramos uma vez em relação a
:
onde
é uma constante de integração (com unidade de velocidade por unidade de comprimento). Integramos novamente:
onde
é outra constante de integração (com unidade de velocidade). Essa é a forma geral da solução: um perfil de velocidade linear em
. Vou agora determinar
e
pelas condições de contorno.
Passo 4
Apresentar e aplicar as condições de contorno (no enunciado pediu que elas fossem mostradas). A condição física importante é a condição de não deslizamento (no-slip) nas superfícies sólidas: a velocidade do fluido coincide com a velocidade da placa no ponto de contato. Adotando as posições das placas conforme o passo 2, as condições são:
Agora impondo essas condições na solução
:
- de
obtemos ; - de
obtemos , portanto
Substituindo
e
na expressão geral, obtemos:
Passo 5
Interpretação física e comentários didáticos (para você entender e lembrar na prova).
- O perfil de velocidade é linear: a velocidade varia linearmente de
em até em . Isso é o escoamento clássico de Couette plano. - A taxa de cisalhamento (gradiente de velocidade) é constante:
- A tensão de cisalhamento no fluido é dada por
, portanto é constante e vale
- Casos particulares úteis para a prova:
- se
e , então ; - se
(placas movem-se em sentidos opostos com mesmas magnitudes), então (substituindo ) — verifique sinais com cuidado.
- se
Resposta
Condições de contorno: