Em um fluido estagnado de densidade \rho e viscosidade \mu, uma esfera de diâmetro \mathbf{D}_{1} e densidade \rho_{\mathrm{s}} é solta e alcança uma velocidade terminal \mathrm{V}_{\mathrm{t} 1}. Se, no mesmo fluido, fosse solta uma esfera com a mesma densidade \rho_{\mathrm{s}}, mas com diâmetro \mathbf{D}_{2}=2 \mathbf{D}_{1}, a velocidade terminal seria \mathbf{V}_{\mathbf{t} 2}.
Expresse a razão \mathbf{V}_{\mathbf{t} \mathbf{2}} / \mathbf{V}_{\mathbf{t 1} \text {, considerando os seguintes casos: }}
(a) Para ambas as esferas, a Lei de Stokes é obedecida.
(b) Para ambas as esferas, o coeficiente de arraste é um valor constante f.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Temos um fluido em repouso com densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu.
  • Solta-se uma esfera de diâmetro \mathbf{D}_1 e densidade da esfera \rho_{\mathrm{s}}. Ela atinge velocidade terminal \mathbf{V}_{t1}.
  • Solta-se uma segunda esfera, mesma densidade \rho_{\mathrm{s}}, mas diâmetro \mathbf{D}_2 = 2\mathbf{D}_1. Sua velocidade terminal é \mathbf{V}_{t2}.
  • O objetivo: expressar a razão \mathbf{V}_{t2}/\mathbf{V}_{t1} em dois casos:
    (a) quando ambas obedecem à Lei de Stokes;
    (b) quando para ambas o coeficiente de arraste é constante f.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado ou necessárias para formular o equilíbrio de forças):
  • Força peso da esfera: igual à massa da esfera vezes g.
  • Força de empuxo (buoyancy): igual ao peso do fluido deslocado.
  • Em velocidade terminal, soma das forças é zero: peso menos empuxo menos arraste = 0.
  • Fórmulas de arraste que usaremos:
    • Lei de Stokes (fluxo de baixa Reynolds): arraste linear em velocidade, com dependência do diâmetro.
    • Caso de coeficiente de arraste constante f: arraste proporcional a V^2 com área de seção transversal.

Passo 2

Escrever as forças e condição de equilíbrio em velocidade terminal.
  • Volume da esfera de diâmetro D: \dfrac{\pi}{6}D^{3}.
  • Peso da esfera: \text{Peso} = \rho_{\mathrm{s}}\left(\dfrac{\pi}{6}D^{3}\right)g.
  • Empuxo (peso do fluido deslocado): \text{Empuxo} = \rho\left(\dfrac{\pi}{6}D^{3}\right)g.
  • Força resultante disponível para vencer o arraste: \text{Peso} - \text{Empuxo} = (\rho_{\mathrm{s}}-\rho)\left(\dfrac{\pi}{6}D^{3}\right)g.
  • Condição de velocidade terminal: arraste = (\rho_{\mathrm{s}}-\rho)\left(\dfrac{\pi}{6}D^{3}\right)g.
A partir dessa igualdade, substituiremos a expressão correta para a força de arraste em cada caso e resolveremos para a velocidade terminal V_t.

Passo 3

Caso (a): ambas as esferas obedecem à Lei de Stokes.
  • A Lei de Stokes para uma esfera em escoamento laminar (Re pequeno) dá a força de arraste
    F_D = 3\pi\mu D V_t,
    onde \mu é a viscosidade dinâmica, D o diâmetro da esfera e V_t a velocidade terminal. Explicando as variáveis: \mu mede a “espessura” do fluido (resistência ao escoamento), D é o tamanho da esfera e V_t é a velocidade relativa entre fluido e esfera.
  • Igualando arraste ao excedente de peso:
    3\pi\mu D V_t = (\rho_{\mathrm{s}}-\rho)\left(\dfrac{\pi}{6}D^{3}\right)g.
  • Isolando V_t: cancelar \pi em ambos os lados e simplificar:
    V_t = \dfrac{(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)\dfrac{1}{6}D^{3}g}{3\mu D} = \dfrac{(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)g D^{2}}{18\mu}.
  • Observação útil: nesta expressão \,V_t\propto D^{2}\,. Ou seja, para esferas geometricamente semelhantes e mesma diferença de densidade, a velocidade terminal escala com o quadrado do diâmetro.

Passo 4

Continuação do caso (a): deduzir como a razão \mathbf{V}_{t2}/\mathbf{V}_{t1} depende dos diâmetros.
  • Das fórmulas obtidas, para uma esfera de diâmetro D_i vale
    V_{t i} = \dfrac{(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)g D_i^{2}}{18\mu}.
  • Logo a razão entre as velocidades para D_2 e D_1 é
    \dfrac{V_{t2}}{V_{t1}} = \left(\dfrac{D_2}{D_1}\right)^{2}.
  • Como no enunciado D_2 = 2 D_1, a razão se reduz a \left(2\right)^{2}. (O resultado numérico final será apresentado na seção de resposta.)

Passo 5

Caso (b): ambas as esferas têm coeficiente de arraste constante f.
  • Quando o coeficiente de arraste C_D é constante (aqui chamado f), a força de arraste quadrática para uma esfera é
    F_D = \dfrac{1}{2} f \rho A V_t^{2},
    onde A é a área de seção transversal da esfera: A = \dfrac{\pi}{4}D^{2}. Explicando: f é adimensional e representa a dependência do arraste com a forma (quando f constante significa regime onde C_D não varia significativamente com Re), \rho é a densidade do fluido; a força escala com V_t^{2} porque é arraste inercial.
  • Substituindo A:
    F_D = \dfrac{1}{2} f \rho \left(\dfrac{\pi}{4}D^{2}\right) V_t^{2} = \dfrac{\pi}{8} f \rho D^{2} V_t^{2}.
  • Igualando arraste ao excedente de peso:
    \dfrac{\pi}{8} f \rho D^{2} V_t^{2} = (\rho_{\mathrm{s}}-\rho)\left(\dfrac{\pi}{6}D^{3}\right)g.
  • Cancelando \pi e simplificando com potências de D:
    V_t^{2} = \dfrac{(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)\dfrac{1}{6}D^{3}g}{\dfrac{1}{8} f \rho D^{2}} = \dfrac{(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)g D}{1}\cdot \dfrac{8}{6 f \rho} = \dfrac{4(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)g D}{3 f \rho}.
  • Portanto
    V_t = \sqrt{\dfrac{4(\rho_{\mathrm{s}}-\rho)g D}{3 f \rho}}.
  • Observação útil: nesta expressão \,V_t\propto \sqrt{D}\,. Assim a razão entre velocidades para D_2 e D_1 é \sqrt{D_2/D_1}. Como D_2=2D_1, a razão será \sqrt{2}. (O valor final numérico aparece na seção de resposta.)

Passo 6

Pequena interpretação física e dicas para prova.
  • No regime de Stokes (forças viscosas dominantes), o arraste cresce linearmente com D e com V, enquanto o peso líquido cresce com D^{3}; daí V_t cresce com D^{2}. Isso significa que um pequeno aumento no diâmetro aumenta fortemente a velocidade terminal nesse regime.
  • No regime de arraste quadrático (inércia dominante, C_D aproximadamente constante), o arraste cresce com a área \propto D^{2} e com V^{2}, e igualando ao peso líquido \propto D^{3} resulta em V_t\propto \sqrt{D}, crescimento mais fraco com o diâmetro.
  • Atenção em provas: antes de aplicar Stokes, verifique se o número de Reynolds é suficientemente pequeno; antes de assumir C_D constante, certifique-se de que se está em uma faixa de Re onde isso é razoável.

Resposta

(a) \;4
(b) \;\sqrt{2}

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