Em um fluido estagnado de densidade
e viscosidade
, uma esfera de diâmetro
e densidade
é solta e alcança uma velocidade terminal
. Se, no mesmo fluido, fosse solta uma esfera com a mesma densidade
, mas com diâmetro
, a velocidade terminal seria
.
Expresse a razão
(a) Para ambas as esferas, a Lei de Stokes é obedecida.
(b) Para ambas as esferas, o coeficiente de arraste é um valor constante f.
(a) Para ambas as esferas, a Lei de Stokes é obedecida.
(b) Para ambas as esferas, o coeficiente de arraste é um valor constante f.
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
- Temos um fluido em repouso com densidade
e viscosidade dinâmica . - Solta-se uma esfera de diâmetro
e densidade da esfera . Ela atinge velocidade terminal . - Solta-se uma segunda esfera, mesma densidade
, mas diâmetro . Sua velocidade terminal é . - O objetivo: expressar a razão
em dois casos:
(a) quando ambas obedecem à Lei de Stokes;
(b) quando para ambas o coeficiente de arraste é constante.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado ou necessárias para formular o equilíbrio de forças):
- Força peso da esfera: igual à massa da esfera vezes
. - Força de empuxo (buoyancy): igual ao peso do fluido deslocado.
- Em velocidade terminal, soma das forças é zero: peso menos empuxo menos arraste = 0.
- Fórmulas de arraste que usaremos:
- Lei de Stokes (fluxo de baixa Reynolds): arraste linear em velocidade, com dependência do diâmetro.
- Caso de coeficiente de arraste constante
: arraste proporcional a com área de seção transversal.
Passo 2
Escrever as forças e condição de equilíbrio em velocidade terminal.
- Volume da esfera de diâmetro
: . - Peso da esfera:
. - Empuxo (peso do fluido deslocado):
. - Força resultante disponível para vencer o arraste:
- Condição de velocidade terminal: arraste
.
A partir dessa igualdade, substituiremos a expressão correta para a força de arraste em cada caso e resolveremos para a velocidade terminal
.
Passo 3
Caso (a): ambas as esferas obedecem à Lei de Stokes.
-
A Lei de Stokes para uma esfera em escoamento laminar (Re pequeno) dá a força de arrasteonde
é a viscosidade dinâmica, o diâmetro da esfera e a velocidade terminal. Explicando as variáveis: mede a “espessura” do fluido (resistência ao escoamento), é o tamanho da esfera e é a velocidade relativa entre fluido e esfera. -
Igualando arraste ao excedente de peso:
-
Isolando
: cancelar em ambos os lados e simplificar: -
Observação útil: nesta expressão
. Ou seja, para esferas geometricamente semelhantes e mesma diferença de densidade, a velocidade terminal escala com o quadrado do diâmetro.
Passo 4
Continuação do caso (a): deduzir como a razão
depende dos diâmetros.
-
Das fórmulas obtidas, para uma esfera de diâmetro
vale -
Logo a razão entre as velocidades para
e é -
Como no enunciado
, a razão se reduz a . (O resultado numérico final será apresentado na seção de resposta.)
Passo 5
Caso (b): ambas as esferas têm coeficiente de arraste constante
.
-
Quando o coeficiente de arraste
é constante (aqui chamado ), a força de arraste quadrática para uma esfera é ondeé a área de seção transversal da esfera: . Explicando: é adimensional e representa a dependência do arraste com a forma (quando constante significa regime onde não varia significativamente com Re), é a densidade do fluido; a força escala com porque é arraste inercial. -
Substituindo
: -
Igualando arraste ao excedente de peso:
-
Cancelando
e simplificando com potências de : -
Portanto
-
Observação útil: nesta expressão
. Assim a razão entre velocidades para e é . Como , a razão será . (O valor final numérico aparece na seção de resposta.)
Passo 6
Pequena interpretação física e dicas para prova.
- No regime de Stokes (forças viscosas dominantes), o arraste cresce linearmente com
e com , enquanto o peso líquido cresce com ; daí cresce com . Isso significa que um pequeno aumento no diâmetro aumenta fortemente a velocidade terminal nesse regime. - No regime de arraste quadrático (inércia dominante,
aproximadamente constante), o arraste cresce com a área e com , e igualando ao peso líquido resulta em , crescimento mais fraco com o diâmetro. - Atenção em provas: antes de aplicar Stokes, verifique se o número de Reynolds é suficientemente pequeno; antes de assumir
constante, certifique-se de que se está em uma faixa de Re onde isso é razoável.
Resposta
(a)
(b)
(b)