1 (A) Explique como o diâmetro de um tubo capilar horizontal pode ser determinado a partir dos seguintes dados:
  • Vazão de massa do fluido que passa no tubo (m)
  • Comprimento do capilar (L)
  • Viscosidade do fluido ( \mu )
  • Densidade do fluido ( \rho )
  • Queda de pressão ao longo do tubo ( \mathrm{P}_{0}-\mathrm{P}_{1} )

Passo 1

O enunciado pede: “Explique como o diâmetro de um tubo capilar horizontal pode ser determinado” a partir dos dados fornecidos. Os dados que temos são:
  • Vazão mássica do fluido: \dot{m}.
  • Comprimento do capilar: L.
  • Viscosidade dinâmica do fluido: \mu.
  • Densidade do fluido: \rho.
  • Queda de pressão ao longo do tubo: \Delta P = P_{0}-P_{1}.

Passo 2

Primeiras observações e hipóteses necessárias (sempre confirme na prova que essas hipóteses valem):
  • Assumir fluxo estacionário, incompressível e de um fluido newtoniano (caso típico de líquidos).
  • Assumir escoamento totalmente desenvolvido e cilíndrico (raio constante), sem efeito de entrada significativo.
  • Assumir regime laminar (antes de usar a fórmula, depois verificamos se essa hipótese é válida).
    Essas hipóteses justificam o uso da lei de Hagen–Poiseuille para fluxo em tubo circular, que liga vazão volumétrica, perda de carga e propriedades do fluido.

Passo 3

Converter vazão mássica em vazão volumétrica, porque a lei de Poiseuille usa vazão volumétrica Q.
A relação é
Q=\dfrac{\dot{m}}{\rho},
onde:
  • \dot{m} é a vazão mássica (unidade por exemplo \mathrm{kg/s}),
  • \rho é a densidade (por exemplo \mathrm{kg/m^3}),
  • Q é a vazão volumétrica (por exemplo \mathrm{m^3/s}).

Passo 4

Apresentar a lei de Hagen–Poiseuille para um tubo cilíndrico (fluxo laminar, incompressível, parede rígida, condição de no-slip):
Q=\dfrac{\pi d^{4}}{128\,\mu\,L}\,\Delta P,
onde:
  • d é o diâmetro do tubo (m) — incógnita que queremos,
  • \mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s),
  • L é o comprimento do tubo (m),
  • \Delta P = P_{0}-P_{1} é a queda de pressão ao longo do comprimento (Pa),
  • Q é a vazão volumétrica (m^3/s).
    Explicação curta da origem: a pressão impulsiona o fluido; o perfil de velocidade é parabólico no regime laminar e a resistência viscosa resulta na relação acima com d^4.

Passo 5

Isolar d da expressão de Poiseuille. Primeiro reescrever em forma de d^4:
d^{4}=\dfrac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,\Delta P}.
Agora extraímos a raiz quarta para obter d:
d=\left(\dfrac{128\,\mu\,L\,Q}{\pi\,\Delta P}\right)^{1/4}.

Passo 6

Substituir Q=\dfrac{\dot{m}}{\rho} na fórmula para expressar d em termos das quantidades dadas:
d=\left(\dfrac{128\,\mu\,L\,\dfrac{\dot{m}}{\rho}}{\pi\,\Delta P}\right)^{1/4} =\left(\dfrac{128\,\mu\,L\,\dot{m}}{\pi\,\Delta P\,\rho}\right)^{1/4}.
Aqui cada símbolo corresponde ao que foi listado no Passo 1.

Passo 7

Verificações práticas e observações para usar isso numa prova ou no laboratório:
  • Checar a hipótese de escoamento laminar calculando o número de Reynolds após obter d. A expressão prática para Re usando Q e d é
Re=\dfrac{\rho\,u\,d}{\mu}, \quad\text{com}\quad u=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{4Q}{\pi d^{2}},
portanto
Re=\dfrac{4\rho Q}{\pi d\mu}.
Se Re \lesssim 2000 (valor aproximado), a hipótese laminar é razoável; se Re for maior, o regime é transicional/turbulento e a fórmula de Poiseuille não vale — aí seria preciso usar a equação de Darcy–Weisbach com fator de atrito f (implicando solução iterativa para d) ou tratar compressibilidade (se for gás com variação de densidade significativa).
  • Em gases, se a variação de pressão é grande, a compressibilidade importa e o método precisa ser corrigido.
  • Entradas práticas: verificar se o comprimento L é suficientemente maior que o comprimento de entrada para fluxo totalmente desenvolvido; caso contrário aplicar correções de perda de carga de entrada.
  • Erros de medição em \Delta P, \dot{m}, \mu, \rho se propagam fortemente em d por causa da raiz quarta (erro na entrada é amortecido pela potência 1/4, o que é bom).

Resposta

d=\left(\dfrac{128\,\mu\,L\,\dot{m}}{\pi\,\Delta P\,\rho}\right)^{1/4}

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