1 (A) Explique como o diâmetro de um tubo capilar horizontal pode ser determinado a partir dos seguintes dados:
Vazão de massa do fluido que passa no tubo (m)
Comprimento do capilar (L)
Viscosidade do fluido ( \mu )
Densidade do fluido ( \rho )
Queda de pressão ao longo do tubo ( \mathrm{P}_{0}-\mathrm{P}_{1} )
Passo 1
O enunciado pede: “Explique como o diâmetro de um tubo capilar horizontal pode ser determinado” a partir dos dados fornecidos. Os dados que temos são:
Vazão mássica do fluido: \dot{m}.
Comprimento do capilar: L.
Viscosidade dinâmica do fluido: \mu.
Densidade do fluido: \rho.
Queda de pressão ao longo do tubo: \Delta P = P_{0}-P_{1}.
Passo 2
Primeiras observações e hipóteses necessárias (sempre confirme na prova que essas hipóteses valem):
Assumir fluxo estacionário, incompressível e de um fluido newtoniano (caso típico de líquidos).
Assumir escoamento totalmente desenvolvido e cilíndrico (raio constante), sem efeito de entrada significativo.
Assumir regime laminar (antes de usar a fórmula, depois verificamos se essa hipótese é válida).
Essas hipóteses justificam o uso da lei de Hagen–Poiseuille para fluxo em tubo circular, que liga vazão volumétrica, perda de carga e propriedades do fluido.
Passo 3
Converter vazão mássica em vazão volumétrica, porque a lei de Poiseuille usa vazão volumétrica Q.
A relação é
Q=\dfrac{\dot{m}}{\rho},
onde:
\dot{m} é a vazão mássica (unidade por exemplo \mathrm{kg/s}),
\rho é a densidade (por exemplo \mathrm{kg/m^3}),
Q é a vazão volumétrica (por exemplo \mathrm{m^3/s}).
Passo 4
Apresentar a lei de Hagen–Poiseuille para um tubo cilíndrico (fluxo laminar, incompressível, parede rígida, condição de no-slip):
Q=\dfrac{\pi d^{4}}{128\,\mu\,L}\,\Delta P,
onde:
d é o diâmetro do tubo (m) — incógnita que queremos,
\mu é a viscosidade dinâmica (Pa·s),
L é o comprimento do tubo (m),
\Delta P = P_{0}-P_{1} é a queda de pressão ao longo do comprimento (Pa),
Q é a vazão volumétrica (m^3/s).
Explicação curta da origem: a pressão impulsiona o fluido; o perfil de velocidade é parabólico no regime laminar e a resistência viscosa resulta na relação acima com d^4.
Passo 5
Isolar d da expressão de Poiseuille. Primeiro reescrever em forma de d^4:
Se Re \lesssim 2000 (valor aproximado), a hipótese laminar é razoável; se Re for maior, o regime é transicional/turbulento e a fórmula de Poiseuille não vale — aí seria preciso usar a equação de Darcy–Weisbach com fator de atrito f (implicando solução iterativa para d) ou tratar compressibilidade (se for gás com variação de densidade significativa).
Em gases, se a variação de pressão é grande, a compressibilidade importa e o método precisa ser corrigido.
Entradas práticas: verificar se o comprimento L é suficientemente maior que o comprimento de entrada para fluxo totalmente desenvolvido; caso contrário aplicar correções de perda de carga de entrada.
Erros de medição em \Delta P, \dot{m}, \mu, \rho se propagam fortemente em d por causa da raiz quarta (erro na entrada é amortecido pela potência 1/4, o que é bom).