Obtenha a equação diferencial (EDO) que descreve o ângulo
de giro da haste em torno do ponto de articulação
. Na modelagem, considere
como variável de saída e a tensão
do motor como variável de entrada (controle). Considere que a força de empuxo da hélice é definida simplesmente por
sendo
uma constante de proporcionalidade.
Passo 1
O enunciado pede que obtenhamos a equação diferencial (EDO) que descreve o ângulo de giro
da haste em torno do ponto de articulação
, usando como entrada a tensão do motor
. Foi dada a relação entre a força de empuxo da hélice e a tensão:
com
. As variáveis que vou usar e os dados que vou assumir explicitamente (pois o enunciado não forneceu geometria/massa) são:
- massa da haste:
(constante positiva); - comprimento total da haste:
; - aceleração da gravidade:
; - a hélice aplica a força de empuxo
na extremidade livre da haste, a uma distância do pivô , e essa força é sempre perpendicular à haste (torque máximo); - a haste é rígida e uniforme, então o centro de massa está em
do pivô; - não foi especificado atrito/visc. rotacional; inicialmente vou derivar a EDO sem atrito (se quiser, depois posso incluir um termo de amortecimento
com ).
Não inicio a solução ainda: só listei o que o problema pede e todas as informações e suposições usadas.
Passo 2
Entendendo qual torque a hélice gera. Torque (momento) de uma força é a tendência dela em produzir rotação e é dado, em magnitude, por força vezes braço de alavanca (quando a força é perpendicular), isto é:
Aqui a hélice aplica
na extremidade a distância
do pivô, e assumimos orientação perpendicular, então o torque produzido pela hélice em módulo é
Substituindo
(dado do enunciado), obtemos o torque de entrada
Observação de sinal: escolho o sentido positivo de
tal que esse torque seja positivo quando
. Se a direção real da força for oposta, basta um sinal negativo; aqui usamos a forma direta.
Passo 3
Agora calculamos o torque devido ao peso da haste. A força peso
age no centro de massa, localizado a distância
do pivô. O torque gravitacional (restaurador) em torno do pivô, dependendo do ângulo
, tem magnitude
onde o fator
aparece porque só a componente perpendicular ao braço cria torque (para
a haste horizontal/vertical depende da convenção; a forma geral é com
). O sinal desse torque é tal que tende a reduzir
se
for positivo (isto é, é um termo restaurador).
Passo 4
Aplicamos a segunda lei de Newton para rotação (análogo a
na translação). Para rotações:
onde
é o momento de inércia da haste em relação ao pivô
e
é a aceleração angular. Tomando sinais (torque positivo do motor menos torque restaurador da gravidade) obtemos:
Passo 5
Agora precisamos do momento de inércia
. Para uma haste rígida e uniforme de massa
e comprimento
, girando em torno de uma das extremidades, o momento de inércia é
(Substituição padrão: momento de inércia de uma barra fina sobre sua extremidade.)
Substituindo esse
na equação do passo anterior temos:
Passo 6
Vamos manipular a equação para deixá-la numa forma padrão (todas as grandezas divididas por
), isolando
. Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Simplificando os coeficientes (os
e fatores de
cancelam parcialmente):
Essa é a EDO não linear que descreve o comportamento angular da haste, assumindo as hipóteses feitas.
Passo 7
Explicação didática dos termos e quando linearizar:
- O termo
é a aceleração angular; multiplicado por representa a inércia à rotação. - O termo
vem do torque gravitacional por unidade de inércia e é não linear por causa do . - O termo
é a aceleração angular causada pelo torque do motor por unidade de inércia — é a função de entrada/control.
Na prática de projeto/controle costuma-se linearizar ao redor de um ponto de equilíbrio pequeno (por exemplo
), usando
para pequenos
(em radianos). Fazendo essa aproximação obtemos a EDO linearizada:
Essa forma linear é útil para análises de estabilidade, resposta em pequenos desvios e projeto de controladores. Se houver atrito rotacional viscoso, incluiríamos um termo adicional
no membro esquerdo, com
coeficiente de amortecimento.