Obtenha a equação diferencial (EDO) que descreve o ângulo \theta(t) de giro da haste em torno do ponto de articulação A. Na modelagem, considere \theta(t) como variável de saída e a tensão v_{m}(t) do motor como variável de entrada (controle). Considere que a força de empuxo da hélice é definida simplesmente por
F_{e}(t)=K_{e} v_{m}(t)
sendo K_{e}>0 uma constante de proporcionalidade.

Passo 1

O enunciado pede que obtenhamos a equação diferencial (EDO) que descreve o ângulo de giro \theta(t) da haste em torno do ponto de articulação A, usando como entrada a tensão do motor v_{m}(t). Foi dada a relação entre a força de empuxo da hélice e a tensão:
F_{e}(t)=K_{e}\,v_{m}(t),
com K_{e}>0. As variáveis que vou usar e os dados que vou assumir explicitamente (pois o enunciado não forneceu geometria/massa) são:
  • massa da haste: m (constante positiva);
  • comprimento total da haste: L;
  • aceleração da gravidade: g;
  • a hélice aplica a força de empuxo F_{e}(t) na extremidade livre da haste, a uma distância L do pivô A, e essa força é sempre perpendicular à haste (torque máximo);
  • a haste é rígida e uniforme, então o centro de massa está em L/2 do pivô;
  • não foi especificado atrito/visc. rotacional; inicialmente vou derivar a EDO sem atrito (se quiser, depois posso incluir um termo de amortecimento \;b\theta'(t)\; com b\ge0).
    Não inicio a solução ainda: só listei o que o problema pede e todas as informações e suposições usadas.

Passo 2

Entendendo qual torque a hélice gera. Torque (momento) de uma força é a tendência dela em produzir rotação e é dado, em magnitude, por força vezes braço de alavanca (quando a força é perpendicular), isto é:
\tau_{e}(t)=r\times F_{e}(t).
Aqui a hélice aplica F_{e}(t) na extremidade a distância r=L do pivô, e assumimos orientação perpendicular, então o torque produzido pela hélice em módulo é
\tau_{e}(t)=L\,F_{e}(t).
Substituindo F_{e}(t)=K_{e}\,v_{m}(t) (dado do enunciado), obtemos o torque de entrada
\tau_{e}(t)=L\,K_{e}\,v_{m}(t).
Observação de sinal: escolho o sentido positivo de \theta tal que esse torque seja positivo quando v_{m}>0. Se a direção real da força for oposta, basta um sinal negativo; aqui usamos a forma direta.

Passo 3

Agora calculamos o torque devido ao peso da haste. A força peso m g age no centro de massa, localizado a distância L/2 do pivô. O torque gravitacional (restaurador) em torno do pivô, dependendo do ângulo \theta, tem magnitude
\tau_{g}(t)=m g \frac{L}{2}\sin\big(\theta(t)\big),
onde o fator \sin\theta aparece porque só a componente perpendicular ao braço cria torque (para \theta=0 a haste horizontal/vertical depende da convenção; a forma geral é com \sin\theta). O sinal desse torque é tal que tende a reduzir \theta se \theta for positivo (isto é, é um termo restaurador).

Passo 4

Aplicamos a segunda lei de Newton para rotação (análogo a F=ma na translação). Para rotações:
\sum \tau = I\,\alpha,
onde I é o momento de inércia da haste em relação ao pivô A e \alpha=\ddot{\theta}(t) é a aceleração angular. Tomando sinais (torque positivo do motor menos torque restaurador da gravidade) obtemos:
L\,K_{e}\,v_{m}(t) - m g \frac{L}{2}\sin\big(\theta(t)\big) = I\,\ddot{\theta}(t).

Passo 5

Agora precisamos do momento de inércia I. Para uma haste rígida e uniforme de massa m e comprimento L, girando em torno de uma das extremidades, o momento de inércia é
I=\frac{1}{3}mL^{2}.
(Substituição padrão: momento de inércia de uma barra fina sobre sua extremidade.)
Substituindo esse I na equação do passo anterior temos:
L\,K_{e}\,v_{m}(t) - m g \frac{L}{2}\sin\big(\theta(t)\big) = \frac{1}{3}mL^{2}\,\ddot{\theta}(t).

Passo 6

Vamos manipular a equação para deixá-la numa forma padrão (todas as grandezas divididas por I), isolando \ddot{\theta}. Dividindo ambos os lados por \frac{1}{3}mL^{2} obtemos:
\ddot{\theta}(t) + \frac{m g \frac{L}{2}}{\frac{1}{3}mL^{2}}\,\sin\big(\theta(t)\big) = \frac{L\,K_{e}}{\frac{1}{3}mL^{2}}\,v_{m}(t).
Simplificando os coeficientes (os m e fatores de L cancelam parcialmente):
\ddot{\theta}(t) + \frac{3g}{2L}\,\sin\big(\theta(t)\big) = \frac{3K_{e}}{mL}\,v_{m}(t).
Essa é a EDO não linear que descreve o comportamento angular da haste, assumindo as hipóteses feitas.

Passo 7

Explicação didática dos termos e quando linearizar:
  • O termo \ddot{\theta}(t) é a aceleração angular; multiplicado por I representa a inércia à rotação.
  • O termo \frac{3g}{2L}\sin\big(\theta(t)\big) vem do torque gravitacional por unidade de inércia e é não linear por causa do \sin.
  • O termo \frac{3K_{e}}{mL}v_{m}(t) é a aceleração angular causada pelo torque do motor por unidade de inércia — é a função de entrada/control.
Na prática de projeto/controle costuma-se linearizar ao redor de um ponto de equilíbrio pequeno (por exemplo \theta\approx 0), usando \sin\theta\approx\theta para pequenos \theta (em radianos). Fazendo essa aproximação obtemos a EDO linearizada:
\ddot{\theta}(t) + \frac{3g}{2L}\,\theta(t) = \frac{3K_{e}}{mL}\,v_{m}(t).
Essa forma linear é útil para análises de estabilidade, resposta em pequenos desvios e projeto de controladores. Se houver atrito rotacional viscoso, incluiríamos um termo adicional \;+\; \frac{b}{I}\,\dot{\theta}(t)\; no membro esquerdo, com b coeficiente de amortecimento.

Resposta

\ddot{\theta}(t) + \frac{3g}{2L}\,\sin\big(\theta(t)\big) \;=\; \frac{3K_{e}}{mL}\,v_{m}(t)
\text{(linearizada para pequenos ângulos)}\qquad \ddot{\theta}(t) + \frac{3g}{2L}\,\theta(t) \;=\; \frac{3K_{e}}{mL}\,v_{m}(t)â

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