A partir da EDO do item (a), obtenha a equação linearizada do sistema em torno do ponto \theta=0. Calcule a função de transferência \Theta(s) / V_{m}(s).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Obter a equação linearizada do sistema em torno do ponto \theta=0.
  2. Calcular a função de transferência \Theta(s)/V_{m}(s).
Informações fornecidas no enunciado que você me mandou agora:
  • Somente essas duas solicitações. Não veio a EDO original do item (a) (ou seja, a equação diferencial não-linear que deve ser linearizada).
Observação importante: sem a EDO não há como obter uma linearização específica nem calcular a função de transferência com valores/coeficientes numéricos ou símbolos concretos. A EDO do item (a) é informação necessária e está em falta aqui.

Passo 2

Por que não posso prosseguir numericamente/agora: para linearizar e obter \Theta(s)/V_{m}(s) precisamos da forma matemática da EDO não-linear original, por exemplo algo do tipo
\ddot{\theta}=F\big(\theta,\dot{\theta},V_{m}\big)
ou uma EDO equivalente com parâmetros (massas, comprimentos, constantes, etc.). Sem essa função F (ou os parâmetros na EDO), não é possível calcular as derivadas parciais necessárias para a linearização e, portanto, não é possível escrever a equação linearizada específica nem a função de transferência particular.
Dito isso, eu não vou pedir nada — somente explicarei passo a passo o método que você deve aplicar no exame quando tiver a EDO do item (a). Assim você sabe exatamente o que fazer.

Passo 3

Método geral de linearização (explicado do jeito simples, passo a passo):
  1. Identifique a EDO não-linear original. Normalmente ela vem numa das formas:
    \ddot{\theta}=F\big(\theta,\dot{\theta},V_{m}\big)
    ou numa forma equivalente como
    G\big(\theta,\dot{\theta},\ddot{\theta},V_{m}\big)=0.
    Aqui \theta é a variável a linearizar em torno de \theta=0, \dot{\theta} e \ddot{\theta} são primeira e segunda derivadas no tempo, e V_{m} é a entrada.
  2. Defina o ponto de equilíbrio. Geralmente linearizamos em torno do ponto de repouso \theta=\theta_0=0, com \dot{\theta}_0=0 e a entrada de equilíbrio V_{m0} tal que o sistema esteja em equilíbrio (muitas vezes V_{m0}=0). No exame, verifique se \theta_0=0 e \dot\theta_0=0 satisfazem a EDO com a entrada escolhida.
  3. Faça pequenas variações (perturbações) em torno do ponto de equilíbrio:
    \theta(t)=\theta_0+\tilde{\theta}(t),\qquad \dot{\theta}(t)=\dot{\theta}_0+\tilde{\dot{\theta}}(t),\qquad V_m(t)=V_{m0}+\tilde{V}_m(t).
    Aqui \tilde{\theta},\tilde{\dot{\theta}},\tilde{V}_m são pequenas.
  4. Expanda F em série de Taylor de primeira ordem em torno do ponto de equilíbrio e despreze termos quadráticos e superiores. Se tivermos a forma \ddot{\theta}=F(\theta,\dot\theta,V_m), a linearização fica:
    \widetilde{\ddot{\theta}} \approx \left.\frac{\partial F}{\partial \theta}\right|_{0}\widetilde{\theta} +\left.\frac{\partial F}{\partial \dot{\theta}}\right|_{0}\widetilde{\dot{\theta}} +\left.\frac{\partial F}{\partial V_{m}}\right|_{0}\widetilde{V}_{m},
    onde os derivativos parciais são avaliados no ponto de equilíbrio (\theta_0,\dot\theta_0,V_{m0}), que aqui é (0,0,V_{m0}).
  5. Interprete o resultado: isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes (avaliados no equilíbrio). Normalmente podemos rearranjar para a forma padrão
    \alpha_2\widetilde{\ddot{\theta}}+\alpha_1\widetilde{\dot{\theta}}+\alpha_0\widetilde{\theta}=\beta_0\widetilde{V}_m,
    onde os \alpha_i e \beta_0 são combinações dos parciais obtidos no passo anterior.

Passo 4

Como transformar a equação linearizada em função de transferência:
  1. Depois de obter a EDO linearizada na forma
    \alpha_2\widetilde{\ddot{\theta}}+\alpha_1\widetilde{\dot{\theta}}+\alpha_0\widetilde{\theta}=\beta_0\widetilde{V}_m,
    aplique a transformada de Laplace (assumindo condições iniciais nulas para obter a função de transferência). Usando \mathcal{L}\{\widetilde{\theta}(t)\}=\Theta(s) e \mathcal{L}\{\widetilde{V}_m(t)\}=V_{m}(s), obtemos:
    \alpha_2 s^2 \Theta(s) + \alpha_1 s \Theta(s) + \alpha_0 \Theta(s) = \beta_0 V_{m}(s).
  2. Resolva para a função de transferência:
    \frac{\Theta(s)}{V_{m}(s)} = \frac{\beta_0}{\alpha_2 s^2 + \alpha_1 s + \alpha_0}.
    Essa é a expressão padrão: um numerador (ganho) e um denominador quadrático que descreve a dinâmica linearizada.
  3. Outra forma elegante (estado-espaço): defina estados x_1=\widetilde{\theta}, x_2=\widetilde{\dot{\theta}}. Escreva o sistema em \dot{x}=f(x,u), calcule as matrizes
    A=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0},\qquad B=\left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{0},
    e então
    \frac{\Theta(s)}{V_{m}(s)}=C\big(sI-A\big)^{-1}B,
    com C=[1\\\ 0] (pois queremos a saída \theta). Isso dá exatamente o mesmo racional quadrático acima quando o sistema é de segunda ordem.

Passo 5

Exemplo concreto (muito comum em provas) para fixar a ideia — leia como modelo ilustrativo, pode não ser exatamente sua EDO do item (a):
Suponha que a EDO não-linear do item (a) seja a do pêndulo motorizado comum:
M\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + mgL\sin(\theta) = K V_{m},
onde M é momento de inércia (como ml^2), b é amortecimento viscoso, mgL termo gravitacional, e K ganho do motor. (Eu estou inventando esses símbolos apenas para mostrar o método — só use isto se a sua EDO for realmente desse tipo.)
Linearizando \sin(\theta)\approx\theta em torno de \theta=0 dá:
M\ddot{\theta} + b\dot{\theta} + mgL\,\theta = K V_{m}.
A função de transferência correspondente é:
\frac{\Theta(s)}{V_{m}(s)} = \frac{K}{M s^2 + b s + mgL}.
Esse é o tipo de resposta que você deve obter: um ganho no numerador e um polinômio quadrático no denominador. No exame, substituiria M,b,mgL,K pelos parâmetros do seu problema (ou por expressões dadas na EDO).

Passo 6

Resumindo o procedimento que você deve executar passo a passo no exame assim que tiver a EDO do item (a):
  1. Escreva a EDO não-linear explicitamente.
  2. Encontre o ponto de equilíbrio (aqui \theta_0=0, confirmar \dot\theta_0 e V_{m0}).
  3. Compute as derivadas parciais: \partial F/\partial\theta, \partial F/\partial\dot\theta, \partial F/\partial V_m avaliadas no equilíbrio.
  4. Monte a EDO linearizada e coloque na forma padrão \alpha_2\ddot{\theta}+\alpha_1\dot{\theta}+\alpha_0\theta=\beta_0 V_m.
  5. Aplique Laplace e calcule \Theta(s)/V_{m}(s)=\beta_0/(\alpha_2 s^2+\alpha_1 s+\alpha_0).
Você consegue! Se aparecer uma função trigonométrica (como \sin ou \cos), use a aproximação de primeira ordem ( \sin\theta\approx\theta, \cos\theta\approx1) na linearização. Se aparecer produto não-linear com \dot\theta, trate via derivadas parciais conforme mostrei.

Resposta

Não é possível obter \displaystyle \frac{\Theta(s)}{V_{m}(s)} porque a EDO do item (a) não foi fornecida.

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