Obtenha a equação geral do plano que contém o ponto P(2,1,0) e é perpendicular aos planos pi1: x+2 y-3 z+4=0, pi2: 8 x-4 y+16 z-1=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano que passa por P(2,1,0) e é perpendicular aos planos
pi1: x+2y-3z+4=0 e pi2: 8x-4y+16z-1=0.
Conteúdo: para um plano ser perpendicular a outro, seu vetor normal deve ser ortogonal ao vetor normal do outro. Vamos usar produto vetorial para achar o normal do plano buscado.

Passo 2

Extraímos os vetores normais de pi1 e pi2:
n1 = (1,2,-3), n2 = (8,-4,16)

Passo 3

O vetor normal N do plano procurado deve satisfazer Ncdotn1=0 e Ncdotn2=0. Portanto, podemos tomá-lo como
N = n1 times n2 = i & j & k 1 & 2 & -3 8 & -4 & 16 = (2cdot16 - (-3)cdot(-4),; -[1cdot16 - (-3)cdot8],;1cdot(-4)-2cdot8) = (20,-40,-20)

Passo 4

Podemos simplificar N dividindo por 20, obtendo
N = (1,-2,-1)

Passo 5

Usamos a forma ponto-normal do plano: se N = (A,B,C) e o plano passa por (x0,y0,z0), então
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Aqui A=1, B=-2, C=-1 e (x0,y0,z0)=(2,1,0), logo
1,(x-2)+(-2),(y-1)+(-1),(z-0)=0
Rightarrow x -2 -2y +2 -z =0
Rightarrow x -2y -z =0

Resposta

A equação geral do plano é
x -2y -z =0

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