Determine o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles.
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre as duas medianas traçadas a partir dos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles. O conteúdo aqui envolve:
usar coordenadas para representar o triângulo isósceles retângulo,
obter as medianas via pontos médios,
aplicar o produto escalar para determinar o cosseno do ângulo entre dois vetores,
usar arccos para encontrar o ângulo.
Passo 2
Vamos fixar o triângulo com vértices
de modo que e sejam os catetos iguais de comprimento e o ângulo reto fique em .
Passo 3
A mediana a partir de vai ao ponto médio de . Como
o vetor dessa mediana é
Analogamente, a mediana a partir de B vai ao ponto médio de AC. Como
A=(1,0),;C=(0,0) Longrightarrow N=l(tfrac12,0r),
o vetor dessa mediana é
BN = N - B =l(tfrac12,0r)-(0,1) =l(tfrac12,-1r)
Passo 4
Para achar o ângulo theta entre esses vetores usamos a fórmula do produto escalar: