Determine o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as duas medianas traçadas a partir dos vértices dos ângulos agudos de um triângulo retângulo isósceles. O conteúdo aqui envolve:
  • usar coordenadas para representar o triângulo isósceles retângulo,
  • obter as medianas via pontos médios,
  • aplicar o produto escalar para determinar o cosseno do ângulo entre dois vetores,
  • usar arccos para encontrar o ângulo.

Passo 2

Vamos fixar o triângulo com vértices
A=(1,0), B=(0,1), C=(0,0),
de modo que AC e BC sejam os catetos iguais de comprimento 1 e o ângulo reto fique em C.

Passo 3

A mediana a partir de A vai ao ponto médio de BC. Como
B=(0,1),;C=(0,0) Longrightarrow M=l(0,tfrac12r),
o vetor dessa mediana é
AM = M - A =l(0,tfrac12r)-(1,0) =l(-1,tfrac12r)
Analogamente, a mediana a partir de B vai ao ponto médio de AC. Como
A=(1,0),;C=(0,0) Longrightarrow N=l(tfrac12,0r),
o vetor dessa mediana é
BN = N - B =l(tfrac12,0r)-(0,1) =l(tfrac12,-1r)

Passo 4

Para achar o ângulo theta entre esses vetores usamos a fórmula do produto escalar:
ucdotv = |u|;|v|costheta
Aqui
u=AM, v=BN
Calculamos o produto escalar:
AMcdotBN =(-1)cdottfrac12 + tfrac12cdot(-1) =-tfrac12 - tfrac12 =-1
E os comprimentos:
|AM| =raiz(-1)^2+l(tfrac12r)^2 =raiz1+tfrac14 =tfracraiz52,
|BN| =raizl(tfrac12r)^2+(-1)^2 =raiztfrac14+1 =tfracraiz52

Passo 5

Substituindo na definição de cosseno:
costheta =AMcdotBN |AM|;|BN| =-1l(tfracraiz52r)l(tfracraiz52r) =-1tfrac54 =-tfrac45
Logo
theta =arccos!l(-tfrac45r)

Passo 6

Em graus,
theta =arccos!l(-tfrac45r) approx 143,13^circ

Resposta

O ângulo formado pelas medianas é
theta = arccos!l(-tfrac45r)approx 143,13^circ

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