Seja W o plano x+2 y-z=0.
Escreva as equações paramétricas e vetorial do plano W.

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e vetorial do plano
W:;x+2y-z=0
Aqui vamos usar que a forma geral de um plano em R^3 é
ncdot(r-r0)=0,
onde n é vetor normal e r0 é um ponto do plano. Como é um plano de dimensão 2, precisamos escolher dois parâmetros livres para obter suas equações paramétricas.

Passo 2

O vetor normal n vem dos coeficientes de x,y,z na equação do plano:
n=(1,2,-1)
Para achar um ponto r0 qualquer em W, basta notar que (0,0,0) satisfaz 0+2cdot0-0=0. Logo, r0=(0,0,0).

Passo 3

Como temos uma condição linear em x,y,z, podemos escolher dois deles como parâmetros livres. Por exemplo, seja
y=s, z=t,
com s,tinR. Substituindo em x+2y-z=0, obtemos
x + 2s - t = 0 Longrightarrow x = -2s + t

Passo 4

Reunindo as coordenadas em função de s e t, temos as equações paramétricas:
x = -2s + t, y = s, z = t

Passo 5

Podemos escrever isso na forma vetorial, definindo
r(s,t) = (x,y,z) = (-2s+t,;s,;t)
Separando em ponto base e vetores diretores:
r(s,t) = (0,0,0) + s,(-2,1,0) + t,(1,0,1)
Como r0=(0,0,0), a forma final é
boxedr(s,t)=s,(-2,1,0)+t,(1,0,1), s,tinR

Resposta

Equações paramétricas:
x=-2s+t, y=s, z=t, s,tinR
Equação vetorial:
r(s,t)=s,(-2,1,0)+t,(1,0,1), s,tinR

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