Obtenha a equação linear (linearizar) em torno do ponto de equilíbrio onde f(y1, y2)=y1 y2.

Passo 1

Beleza, a questão pede para “linearizar” (ou seja, aproximar por uma função linear) a função

ao redor de um ponto de equilíbrio. Isso faz parte de física/matemática aplicada a sistemas – a ideia é usar a expansão de Taylor em primeira ordem, e vamos precisar calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro: identificar o ponto de equilíbrio y1^*,y2^* = 0 . Ponto de equilíbrio é onde , logo
Isso quer dizer que ou (com qualquer) ou (com qualquer).

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de partial fpartial y1 = y2 e partial fpartial y2 = y1 :

Passo 4

A expansão de Taylor de primeira ordem em torno de f(y1,y2)approx f(y1^*,y2^*) +partial fpartial y1g|*,(y1 - y1^*) +partial fpartial y2g|*,(y2 - y2^*) é
f(y1,y2) ;approx; y2^*,(y1 - y1^*) ;+; y1^*,(y2 - y2^*)
Como no equilíbrio e as derivadas avaliadas em valem
e ,
fica

Passo 5

Definindo as variações de e , a forma linearizada é

Resposta

A equação linearizada de boxed;de em torno do ponto de equilíbrio é
onde e .

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