Obtenha a equação linear (linearizar) em torno do ponto de equilíbrio onde .
Passo 1
Beleza, a questão pede para “linearizar” (ou seja, aproximar por uma função linear) a função
ao redor de um ponto de equilíbrio. Isso faz parte de física/matemática aplicada a sistemas – a ideia é usar a expansão de Taylor em primeira ordem, e vamos precisar calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro: identificar o ponto de equilíbrio . Ponto de equilíbrio é onde , logo
Isso quer dizer que ou (com qualquer) ou (com qualquer).
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais de :
Passo 4
A expansão de Taylor de primeira ordem em torno de é
Como no equilíbrio e as derivadas avaliadas em valem e ,
fica
Passo 5
Definindo as variações de e , a forma linearizada é
Resposta
A equação linearizada de boxed;de em torno do ponto de equilíbrio é