Obtenha a equação \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 a\left(\theta-\theta_{0}\right) a partir de \omega=\omega_{0}+\alpha\left(t-t_{0}\right) e \theta=\theta_{0}+\omega_{0}\left(t-t_{0}\right)+\frac{1}{2} \alpha\left(t-t_{0}\right)^{2}. Dica: note que \omega=\omega_{0}+\alpha\left(t-t_{0}\right) permite-nos expressar t-t_{0} a partir das velocidades \omega e \omega_{0} e da aceleração \alpha. Esse resultado pode então ser substituído na segunda equação.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações de movimento para aceleração angular constante \alpha, com velocidade inicial \omega_0 em t_0 e posição angular \theta_0:
\omega = \omega_0 + \alpha\,(t - t_0)
\theta = \theta_0 + \omega_0\,(t - t_0) + \tfrac12\,\alpha\,(t - t_0)^{2}
Queremos chegar à relação \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\,a\,(\theta - \theta_{0}).

Passo 2

Isolamos (t - t_0) na primeira equação:
t - t_0 = \frac{\omega - \omega_0}{\alpha}.

Passo 3

Substituímos esse valor em \theta = \theta_0 + \omega_0\,(t - t_0) + \tfrac12\,\alpha\,(t - t_0)^{2}. Assim,
\theta - \theta_0 = \omega_0\,\frac{\omega - \omega_0}{\alpha} + \frac12\,\alpha \Bigl(\frac{\omega - \omega_0}{\alpha}\Bigr)^{2} = \frac{\omega_0\,(\omega - \omega_0)}{\alpha} + \frac{(\omega - \omega_0)^{2}}{2\alpha}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 2\alpha e expandimos:
2\alpha\,(\theta - \theta_0) = 2\,\omega_0\,(\omega - \omega_0) + (\omega - \omega_0)^{2} = \omega^{2} - \omega_{0}^{2}.
Renomeando \alpha para a, obtemos
\omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\,a\,(\theta - \theta_{0}).

Resposta

\displaystyle \omega^{2} = \omega_{0}^{2} + 2\,a\,(\theta - \theta_{0}).

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