(2,0 pontos) Em uma regi o do espa o h um campo de indu o magn tica \vec{B}, uniforme, cuja intensidade em fun o do tempo dada por B(t)=5,0 t^{2}+2,0 t+7,0 onde t representa o tempo em segundos e B em teslas. Uma espira circular de rea S=0,20 \mathrm{~m}^{2} est imersa nesse campo, de modo que B \rightarrow perpendicular ao plano de espira. A resist ncia da espira \mathrm{R}=2 \Omega.
A) (1,0 pontos ) Calcule a for a eletromotriz induzida na espira, no instante t_{1}=21 \mathrm{~s} B) ( 0,5 pontos) a intensidade de corrente m dia induzida na espira quando \Delta \mathrm{t}=\mathrm{t}_{2}-\mathrm{t}_{1} onde \mathrm{t}_{2}=42 segundos;
C) ( 0,5 pontos) a carga el trica que passou por uma se o reta qualquer do o que forma a espira no intervalo de tempo \Delta t=t_{2}-t_{1}.

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético uniforme cuja intensidade varia no tempo segundo
B(t) = 5{,}0\,t^{2} + 2{,}0\,t + 7{,}0
com t em segundos e B em teslas. Uma espira de área S=0{,}20, m^{2} está com o campo perpendicular ao seu plano, e sua resistência é R=2, \Omega.
Precisamos usar a lei de Faraday:
\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},
onde \Phi = B\,S. Como S é constante e B\perp ao plano,
\mathcal{E}(t) = -S\,\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}.

Passo 2

Vamos achar \mathrm{d}B/\mathrm{d}t. Da função B(t),
\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t} = 2\cdot5{,}0\,t + 2{,}0 = 10\,t + 2.
No instante t_{1}=21,s,
\left.\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|_{t=21} = 10\cdot21 + 2 = 210 + 2 = 212\\ \text{T/s}.
Logo a força eletromotriz induzida é
\mathcal{E}(21) = -S\,(212) = -0{,}20 \times 212 = -42{,}4\\ \text{V}.

Passo 3

Para achar a corrente média entre t_{1}=21,s e t_{2}=42,s, calculamos
B(21)=5\cdot21^{2}+2\cdot21+7=2254\\ \text{T}, \quad B(42)=5\cdot42^{2}+2\cdot42+7=8911\\ \text{T}.
Então \Delta B = 8911 - 2254 = 6657,T e \Delta t = 42 - 21 = 21,s. A fem média em módulo é
\mathcal{E}_{\rm m} = S\,\frac{\Delta B}{\Delta t} = 0{,}20 \times \frac{6657}{21} \approx 63{,}48\\ \text{V}.
A corrente média (módulo) é
I_{\rm m} = \frac{\mathcal{E}_{\rm m}}{R} = \frac{63{,}48}{2} \approx 31{,}74\\ \text{A}.

Passo 4

A carga total que passa em qualquer seção da espira é
Q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} I(t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{R}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathcal{E}(t)\,\mathrm{d}t
em módulo, como \mathcal{E}(t) mantém sinal fixo. Mas
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathcal{E}(t)\,\mathrm{d}t = -S\bigl[B(t_{2})-B(t_{1})\bigr].
Em módulo,
Q = \frac{S}{R}\,\bigl|B(t_{2})-B(t_{1})\bigr| = \frac{0{,}20}{2}\times 6657 = 0{,}10\times 6657 = 665{,}7\\ \text{C}.

Resposta

A) \displaystyle \mathcal{E}(21) = -42{,}4\\ \text{V}.
B) \displaystyle I_{\rm m} \approx 31{,}74\\ \text{A}.
C) \displaystyle Q \approx 665{,}7\\ \text{C}.

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