Obtenha a equação reduzida da hipérbole cujos focos estão sobre o eixo x, com distância focal 10 e vértices distantes 6 unidades entre si.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter a equação reduzida da hipérbole.
Informações dadas (tiradas do enunciado):
  • Os focos estão sobre o eixo x.
  • A distância focal (distância entre os dois focos) é 10.
  • A distância entre os vértices é 6.

Passo 2

Interpretação geométrica e escolha do sistema de coordenadas (sem resolver ainda).
  • Como os focos estão sobre o eixo x e os dados são as distâncias entre focos e entre vértices (valores simétricos), é natural assumir que a hipérbole é centrada na origem (0,0) e que o eixo transverso está no eixo x. Isso é uma escolha padrão quando não há translação indicada: a hipérbole fica simétrica em relação à origem.
  • A forma reduzida (padrão) de uma hipérbole com eixo transverso no eixo x e centro na origem é
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,
onde:
  • a é o semi-eixo transverso (distância do centro a cada vértice),
  • b é o semi-eixo conjugado (relacionado à abertura da hipérbole),
  • c é a distância do centro a cada foco (logo os focos estão em (\pm c,0)).
  • Há uma relação fundamental entre a,b,c para essa hipérbole:
c^2 = a^2 + b^2.
Vou usar essas definições e relações para achar a,b,c e montar a equação.

Passo 3

Encontrar a a partir da distância entre vértices.
  • A distância entre os vértices é 2a.
  • O enunciado diz que essa distância é 6. Logo
2a=6 \quad\Rightarrow\quad a=3.

Passo 4

Encontrar c a partir da distância focal.
  • A distância entre os focos é 2c.
  • O enunciado diz que essa distância é 10. Logo
2c=10 \quad\Rightarrow\quad c=5.

Passo 5

Usar a relação entre a,b,c para obter b.
  • A relação é \displaystyle c^2=a^2+b^2.
  • Substituindo a=3 e c=5:
5^2 = 3^2 + b^2 \quad\Rightarrow\quad 25 = 9 + b^2.
  • Portanto
b^2 = 25-9 = 16 \quad\Rightarrow\quad b=4.
(Para a equação basta b^2=16.)

Passo 6

Montar a equação reduzida da hipérbole.
  • A forma é \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
  • Substituindo a^2=9 e b^2=16 obtemos
\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1.

Resposta

\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1

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