Obtenha a equação reduzida da hipérbole cujos focos estão sobre o eixo
, com distância focal 10 e vértices distantes 6 unidades entre si.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Obter a equação reduzida da hipérbole.
Informações dadas (tiradas do enunciado):
- Os focos estão sobre o eixo
. - A distância focal (distância entre os dois focos) é
. - A distância entre os vértices é
.
Passo 2
Interpretação geométrica e escolha do sistema de coordenadas (sem resolver ainda).
- Como os focos estão sobre o eixo
e os dados são as distâncias entre focos e entre vértices (valores simétricos), é natural assumir que a hipérbole é centrada na origem e que o eixo transverso está no eixo . Isso é uma escolha padrão quando não há translação indicada: a hipérbole fica simétrica em relação à origem. - A forma reduzida (padrão) de uma hipérbole com eixo transverso no eixo
e centro na origem é
onde:
-
é o semi-eixo transverso (distância do centro a cada vértice), -
é o semi-eixo conjugado (relacionado à abertura da hipérbole), -
é a distância do centro a cada foco (logo os focos estão em ). - Há uma relação fundamental entre
para essa hipérbole:
Vou usar essas definições e relações para achar
e montar a equação.
Passo 3
Encontrar
a partir da distância entre vértices.
- A distância entre os vértices é
. - O enunciado diz que essa distância é
. Logo
Passo 4
Encontrar
a partir da distância focal.
- A distância entre os focos é
. - O enunciado diz que essa distância é
. Logo
Passo 5
Usar a relação entre
para obter
.
- A relação é
. - Substituindo
e :
- Portanto
(Para a equação basta
.)
Passo 6
Montar a equação reduzida da hipérbole.
- A forma é
. - Substituindo
e obtemos