Uma elipse tem seus focos no eixo y, com vértices nos pontos (0, \pm 5) e focos nos pontos (0, \pm 3). Determine sua equação reduzida.

Passo 1

O enunciado dá uma elipse com:
  • vértices em (0,\pm 5);
  • focos em (0,\pm 3);
  • pede: determinar a equação reduzida da elipse.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vértices e os focos estão no eixo y (portanto o eixo maior é vertical).
  • Os vértices estão a 5 unidades do centro (isto indica o semi-eixo maior).
  • Os focos estão a 3 unidades do centro (isto indica a distância focal).

Passo 2

Identificar o centro e a orientação da elipse.
Porque os vértices e os focos são simétricos em torno da origem e estão no eixo y, o centro da elipse é o ponto (0,0) e o eixo maior é vertical.
Convencionalmente, para uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical usamos as notações:
  • a = semi-eixo maior (distância do centro ao vértice, aqui ao longo de y);
  • b = semi-eixo menor (distância do centro ao extremo no eixo menor, aqui ao longo de x);
  • c = distância do centro a cada foco.

Passo 3

Determinar a a partir dos vértices.
Os vértices são (0,\pm 5). A distância do centro (0,0) até um vértice é 5. Logo
a = 5,\qquad a^{2}=25.

Passo 4

Determinar c a partir dos focos.
Os focos são (0,\pm 3). A distância do centro até um foco é 3. Logo
c = 3,\qquad c^{2}=9.

Passo 5

Relação entre a, b e c para uma elipse.
Para uma elipse com eixo maior vertical (centrada na origem) a equação reduzida é
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,
e os focos ficam em (0,\pm c) com a relação conhecida
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Essa relação vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos focos constante igual a 2a) e da forma algébrica da equação reduzida; aqui vamos usá‑la diretamente.

Passo 6

Calcular b^{2} usando c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Rearranjando,
b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Substituindo a^{2}=25 e c^{2}=9,
b^{2}=25-9=16,
portanto
b=4.

Passo 7

Escrever a equação reduzida da elipse.
Como o eixo maior é o eixo y, a forma reduzida é
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1.
Substituindo b^{2}=16 e a^{2}=25 obtemos
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1.

Passo 8

Checagem rápida (consistência).
  • Os vértices (0,\pm 5) satisfazem a equação porque \dfrac{0}{16}+\dfrac{25}{25}=1.
  • A relação c^{2}=a^{2}-b^{2} c^{2}=25-16=9, logo c=3, consistente com os focos fornecidos.

Resposta

\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1

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