Uma elipse tem seus focos no eixo
, com vértices nos pontos
e focos nos pontos
. Determine sua equação reduzida.
Passo 1
O enunciado dá uma elipse com:
- vértices em
; - focos em
; - pede: determinar a equação reduzida da elipse.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os vértices e os focos estão no eixo
(portanto o eixo maior é vertical). - Os vértices estão a
unidades do centro (isto indica o semi-eixo maior). - Os focos estão a
unidades do centro (isto indica a distância focal).
Passo 2
Identificar o centro e a orientação da elipse.
Porque os vértices e os focos são simétricos em torno da origem e estão no eixo
, o centro da elipse é o ponto
e o eixo maior é vertical.
Convencionalmente, para uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical usamos as notações:
Convencionalmente, para uma elipse centrada na origem com eixo maior vertical usamos as notações:
-
= semi-eixo maior (distância do centro ao vértice, aqui ao longo de ); -
= semi-eixo menor (distância do centro ao extremo no eixo menor, aqui ao longo de ); -
= distância do centro a cada foco.
Passo 3
Determinar
a partir dos vértices.
Os vértices são
. A distância do centro
até um vértice é
. Logo
Passo 4
Determinar
a partir dos focos.
Os focos são
. A distância do centro até um foco é
. Logo
Passo 5
Relação entre
,
e
para uma elipse.
Para uma elipse com eixo maior vertical (centrada na origem) a equação reduzida é
e os focos ficam em
com a relação conhecida
Essa relação vem da definição geométrica da elipse (soma das distâncias aos focos constante igual a
) e da forma algébrica da equação reduzida; aqui vamos usá‑la diretamente.
Passo 6
Calcular
usando
.
Rearranjando,
Substituindo
e
,
portanto
Passo 7
Escrever a equação reduzida da elipse.
Como o eixo maior é o eixo
, a forma reduzida é
Substituindo
e
obtemos
Passo 8
Checagem rápida (consistência).
- Os vértices
satisfazem a equação porque . - A relação
dá , logo , consistente com os focos fornecidos.