Dada a equação geral x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z=11, reduza-a à forma canônica da quádica correspondente e identifique-a.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z=11
e pede duas coisas:
  • reduzir essa quádica à forma canônica (ou seja, escrever numa forma padrão mais simples);
  • identificar que tipo de quádica é (esfera, elipsoide, hiperbolóide, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
  • termos quadráticos: \,x^{2},y^{2},z^{2}\,;
  • termos lineares: -2x,\;4y,\;-6z;
  • termo constante no lado direito: 11.

Passo 2

Estratégia básica (não resolvo ainda, só explico): quando aparecem só termos quadráticos separados e termos lineares em cada variável (sem termos mistos xy, xz, yz), a técnica mais direta é completar quadrados em x, y e z. A identidade geral que vamos usar é a seguinte.

Passo 3

Fórmula para completar quadrado (aula rápida):
  • Para qualquer variável u e coeficiente b,
u^{2}+b u=\left(u+\frac{b}{2}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2}\right)^{2}.
Explicação: ao expandir \left(u+\dfrac{b}{2}\right)^{2} obtém-se u^{2}+b u+\dfrac{b^{2}}{4}; subtraindo \dfrac{b^{2}}{4} recupera-se u^{2}+b u. Essa é a ferramenta para transformar u^{2}+bu numa soma de um quadrado perfeito mais uma constante.

Passo 4

Aplicando essa identidade a cada variável da equação dada.
Para x: o termo é x^{2}-2x. Aqui b=-2, então
x^{2}-2x=\left(x+\frac{-2}{2}\right)^{2}-\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}-1.
Para y: o termo é y^{2}+4y. Aqui b=4, então
y^{2}+4y=\left(y+\frac{4}{2}\right)^{2}-\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=\left(y+2\right)^{2}-4.
Para z: o termo é z^{2}-6z. Aqui b=-6, então
z^{2}-6z=\left(z+\frac{-6}{2}\right)^{2}-\left(\frac{-6}{2}\right)^{2}=\left(z-3\right)^{2}-9.

Passo 5

Substituo as três identidades na equação original:
\bigl(x-1\bigr)^{2}-1 \;+\; \bigl(y+2\bigr)^{2}-4 \;+\; \bigl(z-3\bigr)^{2}-9 \;=\; 11.
Agora somar as constantes negativas do lado esquerdo:
-1-4-9=-14.
Então a equação fica
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y+2\bigr)^{2}+\bigl(z-3\bigr)^{2}-14=11.
Isolando os quadrados:
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y+2\bigr)^{2}+\bigl(z-3\bigr)^{2}=11+14=25.

Passo 6

Interpretação canônica:
  • A forma obtida
\bigl(x-1\bigr)^{2}+\bigl(y+2\bigr)^{2}+\bigl(z-3\bigr)^{2}=25
é a forma canônica de uma esfera no espaço. A forma padrão de uma esfera é
\bigl(x-a\bigr)^{2}+\bigl(y-b\bigr)^{2}+\bigl(z-c\bigr)^{2}=r^{2},
onde (a,b,c) é o centro e r é o raio.
Comparando, obtemos:
  • centro \;(a,b,c)=(1,-2,3);
  • raio \;r=\sqrt{25}=5.
Dica rápida para prova: quando a equação é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}+2u x+2v y+2w z + d=0\,, o centro é (-u,-v,-w). No nosso caso os coeficientes lineares são -2,4,-6 que correspondem a 2u=-2\Rightarrow u=-1 etc., dando centro (1,-2,3) — mesma conclusão, método mais rápido.

Resposta

\displaystyle (x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-3)^{2}=25
Esfera de centro (1,-2,3) e raio 5.

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