Dada a equação geral
, reduza-a à forma canônica da quádica correspondente e identifique-a.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede duas coisas:
- reduzir essa quádica à forma canônica (ou seja, escrever numa forma padrão mais simples);
- identificar que tipo de quádica é (esfera, elipsoide, hiperbolóide, etc.).
Informações relevantes fornecidas:
- termos quadráticos:
; - termos lineares:
; - termo constante no lado direito:
.
Passo 2
Estratégia básica (não resolvo ainda, só explico): quando aparecem só termos quadráticos separados e termos lineares em cada variável (sem termos mistos
), a técnica mais direta é completar quadrados em
,
e
. A identidade geral que vamos usar é a seguinte.
Passo 3
Fórmula para completar quadrado (aula rápida):
- Para qualquer variável
e coeficiente ,
Explicação: ao expandir
obtém-se
; subtraindo
recupera-se
. Essa é a ferramenta para transformar
numa soma de um quadrado perfeito mais uma constante.
Passo 4
Aplicando essa identidade a cada variável da equação dada.
Para
: o termo é
. Aqui
, então
Para
: o termo é
. Aqui
, então
Para
: o termo é
. Aqui
, então
Passo 5
Substituo as três identidades na equação original:
Agora somar as constantes negativas do lado esquerdo:
Então a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 6
Interpretação canônica:
- A forma obtida
é a forma canônica de uma esfera no espaço. A forma padrão de uma esfera é
onde
é o centro e
é o raio.
Comparando, obtemos:
- centro
; - raio
.
Dica rápida para prova: quando a equação é
, o centro é
. No nosso caso os coeficientes lineares são
que correspondem a
etc., dando centro
— mesma conclusão, método mais rápido.
Resposta
Esfera de centro
e raio
.