Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro
e que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma esfera que tem o centro no ponto
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre a equação da esfera e como calcular a distância entre dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma esfera no espaço. Se a esfera tem centro em
e raio
, a equação dela é:
No nosso caso, o centro
é
, então
,
e
. Faltando descobrir o raio
.
Passo 3
Para encontrar o raio
, vamos calcular a distância entre o centro
e o ponto
, que está na superfície da esfera. A fórmula da distância entre dois pontos
e
no espaço é:
Aplicando os valores:
Então, o raio
.
Passo 4
Agora que temos o centro
e o raio
, vamos substituir esses valores na equação geral da esfera:
Simplificando o lado direito:
Resposta
A equação reduzida da esfera é: