Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro C0=(1,2,3) e que passa pelo ponto P=(0,1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma esfera que tem o centro no ponto e que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre a equação da esfera e como calcular a distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação geral de uma esfera no espaço. Se a esfera tem centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2 e raio , a equação dela é:
No nosso caso, o centro é , então , e . Faltando descobrir o raio .

Passo 3

Para encontrar o raio d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 , vamos calcular a distância entre o centro d = raiz(0 - 1)^2 + (1 - 2)^2 + (2 - 3)^2 = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e o ponto , que está na superfície da esfera. A fórmula da distância entre dois pontos e no espaço é:
Aplicando os valores:
Então, o raio .

Passo 4

Agora que temos o centro (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (raiz3)^2 e o raio (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 3 , vamos substituir esses valores na equação geral da esfera:
Simplificando o lado direito:

Resposta

A equação reduzida da esfera é:
(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 3

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